Depois da Lâmpada, a Curva Patológica

A questão da lâmpada especial do último post abre o caminho para o entendimento de um dos últimos gritos da matemática: a Teoria dos Fractais. A maior parte das pessoas que se interessa ligeiramente pelas curiosidades da ciência, em particular da matemática, já ouviu com certeza esta palavra, fractal, mas, contudo, com certeza que a maior parte das pessoas não sabe o que tal conceito significa. Uma ligeira e muito breve analogia, permite resumir a Teoria dos Fractais a um género de “Teoria dos Flocos de Neve”. Pode parecer uma comparação bastante superficial para os mais entendidos no assunto, mas na minha opinião é um excelente ponto de partida…

De que forma é que o paradoxo da lâmpada especial do último post está relacionado com a Teoria dos Fractais? Unicamente porque, para compreendermos a noção de fractal, é necessário compreender que é possível fazermos somas com infinitas parcelas e que, nem sempre, essa soma representa um número infinitamente grande. Lembram-se do problema do atleta de Zenão? Em que a distância percorrida pelo atleta, apesar de ser igual a 4 km podia ser expressa como uma soma infinita de parcelas? Pois bem! Com o intuito de informar um pouco mais, podemos recordar alguns conceitos básicos dados na escola, relativamente ao estudo daquelas funções matemáticas especiais de domínio IN, chamadas Sucessões (os alunos em Portugal estudam este assunto no final do 11º ano na disciplina de Matemática A). Para quem não sabe, eu passo a explicar: uma sucessão é, simplesmente, uma sequência infinita de números. Por exemplo, a sucessão dos números pares positivos é dada por: 2, 4, 6, 8, … e por aí adiante.

Ora, se bem se lembram, o conjunto IN é constituído pelos números naturais, isto é:

IN = { 1, 2, 3, 4, …}.

A sequência dos números pares pode então ser obtida multiplicando os elementos de IN por 2 (lembram-se do post “A Marca do Oito Deitado”??). Escrevemos então que a sucessão dos números pares (a que vamos chamar p(n) ) tem a seguinte fórmula:

p(n) = 2 x n [ ou para abreviar: p(n) = 2n ].

Ou seja, substituindo a letra n pelos elementos de IN obtemos então os números pares:

● p(1) = 2 x 1 = 2 ;

● p(2) = 2 x 2 = 4 ;

● p(3) = 2 x 3 = 6 ;

● p(4) = 2 x 4 = 8 …

Notem como esta forma de escrita facilita muitos casos. Em particular, imaginem que queremos saber qual é o 37º número positivo par? Basta calcular p(37) = 2 x 37 = 74.

Depois de saber o que é uma sucessão há que conhecer dois tipos muito especiais de sucessões: As Progressões Aritméticas e as Progressões Geométricas. As Progressões Aritméticas são as sucessões em que a diferença entre dois termos consecutivos é igual a uma constante, quaisquer que sejam esses termos. Por exemplo, a sucessão p(n) que considerámos (a sucessão dos números pares) é um exemplo perfeito de Progressão Aritmética, uma vez que dois termos consecutivos é sempre igual a 2:

● p(2) − p(1) = 4 − 2 = 2 ;

● p(3) − p(2) = 6 − 4 = 2 ;

● p(4) − p(3) = 8 − 6 = 2 …

Estes três últimos exemplos devem ser suficientes para tê-lo convencido que esta regra é igual para todos os pares de termos consecutivos da sucessão.

As Progressões Geométricas são aquelas sucessões em que o quociente entre dois termos consecutivos, quaisquer que sejam eles, é igual a uma constante. Isso acontece, por exemplo, com a as distâncias percorridas pelo atleta do problema de Zenão. Relembremos que os termos dessa sucessão, à qual vamos chamar z(n), eram:

● z(1) = 0,5 ;

● z(2) = 0,25 ;

● z(3) = 0,125 ;

● z(4) = 0,0625 …

Estamos em condições, neste momento, de facilmente reconhecer que os termos desta sucessão estão em Progressão Geométrica:

● z(2) / z(1) = 0,25 / 0,5 = 0,5 ;

● z(3) / z(2) = 0,125 / 0,25 = 0,5 ;

● z(4) / z(3) = 0,0625 / 0,125 = 0,5 …

Podemos agora tirar algumas conclusões acerca das Progressões e, sobretudo, das somas de todos os seus termos. A soma de todos os termos de uma Progressão Aritmética, é sempre infinitamente grande, isto é, é sempre igual a ∞ . Na realidade existe apenas uma excepção, mas trata-se de um caso muito trivial que nem sequer vou mencionar aqui. No que diz respeito às Progressões Geométricas, temos então o exemplo das distâncias percorridas pelo atleta do problema de Zenão que mostra precisamente que a soma de todos os seus termos pode não ser igual a ∞ , uma vez que a soma de todos os termos de z(n) é igual a 1. Note que a sucessão z(n) pode ser definida pela expressão:

 

z(n) = (½)ⁿ .

 

A sucessão b(n) = 2ⁿ é também uma Progressão Geométrica. Representa as potências naturais de base 2 e os seus termos são 2, 4, 8, 16, 32, e por aí adiante. Esta sucessão tem limite igual a ∞, isto é, os seus termos são cada vez maiores à medida que vamos aumentando o valor de n. Naturalmente que a soma de todos os termos desta sucessão é, neste caso, igual a ∞.

 

A grande diferença entre as duas Progressões Geométricas apresentadas está no valor da chamada Razão da Progressão (r) que é a base da potência no seu termo geral. Assim, a Razão da Progressão z(n) é r = ½ enquanto que a Razão da Progressão b(n) é r = 2. Sempre que a razão positiva de uma Progressão Geométrica u(n) for menor que uma unidade, então a soma de todos os termos da progressão é igual a u(1) x 1/(1 − r). Se a razão for superior a 1, então a progressão tem limite igual a ∞ e, portanto, a soma de todos os seus termo é também igual a ∞.

 

E agora está tudo a postos para explicar o que é um Fractal…

 

Imagine um triângulo equilátero, isto é, um triângulo com três lados com o mesmo comprimento, digamos 1 dm:

 

 

Vamos agora dividir cada um dos lados do triângulo anterior em três partes iguais e, sobre a terça parte ao meio de cada lado, vamos acrescentar um triângulo idêntico ao anterior, mais pequeno, no entanto, tal como mostra a figura seguinte:

 

 

Se em cada um dos lados do último polígono acrescentarmos um triângulo equilátero da mesma forma que fizemos da última vez e se repetirmos o processo a todos os lados do polígono obtido, obtemos já uma aproximação satisfatória de um Fractal:

 

 

Claro que, tal como os animais, os computadores são nossos amigos e podemos prosseguir a construção. Mais dois conjuntos de triângulos adicionados permitem obter um polígono digno de referência:

 

 

  E agora é fácil compreender porque lhes chamam flocos de neve!!!

 

O que é que estes polígonos têm de interessante? Além da sua forma curiosa, podemos calcular os valores correspondentes ao perímetro e à área do fractal, supondo que a construção se repete infinitamente, adicionando à imagem triângulos cada vez mais pequenos.

Para determinar o perímetro deste fractal, podemos imaginar que os vários perímetros dos polígonos à medida que o construímos constitui uma sucessão, a que vamos chamar c(n). Ora c(0) – vamos considerar aqui que n também pode ser igual a zero – é o perímetro do triângulo inicial que tinha os três lados iguais a 1 dm. Tem-se, portanto:

● c(0) = 3 x 1 = 3 dm .

No segundo passo da nossa construção, adicionámos três triângulos equiláteros. Repare que obtivemos um polígono com 12 lados todos iguais a uma terça parte do lado do triângulo inicial. O perímetro da segunda figura, c(1), calcular-se-á então da seguinte forma:

● c(1) = 12 x 1/3 = 4 dm .

A terceira figura tem agora 48 lados todos iguais. É fácil compreender que cada lado origina quatro novos lados no passo seguinte (note que a primeira figura tinha 3 lados, a segunda 12 e agora a terceira tem 48…). Como cada lado mede uma terça parte do lado anterior, neste momento o lado do polígono tem 1/9 dm e, portanto:

● c(2) = 48 x 1/9 = 16/3 dm ;

● c(3) = 192 x 1/27 = 64/9 dm ;

● c(4) = 758 x 1/81 = 256/27 dm …

Podemos agora dizer com alguma segurança que c(n) = 3 x (4/3)ⁿ , com n ≥ 0. Podemos agora concluir que os perímetros consecutivos do fractal estão em Progressão Geométrica. A sua razão é r = 4/3 e, portanto, é uma sucessão que tem limite infinitamente grande. Isto significa que, se prosseguírmos a nossa construção infinitamente, a linha que delimita o fractal, apesar de fechada, terá um comprimento infinito. É, no mínimo, estranho, sobretudo se, uma vez que ela é fechada, então há-de delimitar uma área finita. Podemos confirmá-lo escrevendo os termos de uma nova sucessão a(n) que represente as áreas adicionadas em cada passo na nossa construção. Há que, em primeiro lugar, calcular a área do triângulo e reconhecer que em cada passo adicionam-se triângulos com uma nona parte da área do triângulo anterior:

 

 

O último quadro permite visualizar os cálculos que reflectem a verdadeira magia por detrás de um fractal: apesar de ser um polígono com infinitos lados e com um perímetro infinitamente grande, a sua área é um valor finito.

 

Existem muitos tipos de fractais, entre os quais, fractais gerados aleatoriamente. É possível então gerar fractais a partir do computador graças a um simples programa de simulação de valores aleatórios. Na realidade este é um tema muito vasto. Que merecerá a minha atenção num post lá mais para a frente!