Os números bem escolhidos

Como já o afirmei (algures num post anterior) eu adoro calcular probabilidades e estudar fenómenos aleatórios. Sendo assim, porque não criar um post acerca das probabilidades de acertar num jogo de sorte? Bem! Este campo é vastíssimo… Podia escolher qualquer jogo de um casino, por exemplo… Poker, Slots, Craps, Black Jack, Roleta… São tantos que, minucioso como sou, se os tratasse no mesmo post, este seria gigantesco (maior ainda que o da Bela e do Pai Natal…!). Sendo assim, vou deixar os jogos do casino para mais tarde e falar de um jogo de sorte mais acessível e com mais aderência por parte dos portugueses: o Totoloto (deixarei o Euromilhões, ou outro jogo da Santa Casa para outra altura). O Totoloto, em Portugal, foi criado em 1985 e promovido pelo Departamento de Jogos da Santa Casa da Misericórdia. O primeiro concurso arrancou no dia 30 de Março desse ano. O concurso que tornou tanta gente milionária celebrou, portanto, o seu 25º aniversário há uns meses.

Como toda a gente sabe, jogar no Totoloto consiste em apostar em seis números (escolhidos de entre 49) que depois serão sorteados a partir de uma tômbola automática. Supõe-se, portanto, que cada número tem a mesma probabilidade de sair. Apesar dos números envolvidos, existe uma monstruosidade de chaves diferentes que podem ocorrer: 13.983.816 para ser mais preciso. Preencher um boletim completo com apostas simples permite-nos apostar 10 das quase 14 milhões de combinações:

Para determinar a probabilidade de acertar no totoloto, o cálculo resume-se a p = 1/13.983.816 para uma aposta simples, isto é cerca de 0,000007% (uma probabilidade muito reduzida). No entanto esta resume-se ao primeiro prémio (o acerto de todos os números numa aposta) e resume-se também a uma aposta apenas (que, no Totoloto, não é possível fazê-lo uma vez que o regulamento permite apenas apostar um número par de chaves simples, ou seja, no mínimo duas). Na realidade, a probabilidade aumenta se fizermos mais apostas. No entanto, se fizermos duas apostas, por exemplo, a probabilidade de acertar o primeiro prémio pode não ser dupla da anterior. Para demonstrá-lo basta pensar no caso trivial de fazermos duas apostas com exactamente os mesmos números: a probabilidade de acertar o primeiro prémio continua a ser igual a 0,000007%. Se preenchermos quatro boletins completos (40 chaves simples), de que forma o podemos fazer de modo a aumentar a probabilidade de ganhar? É a essa pergunta que vou responder neste post.
Para fazer um tratamento completo a esta questão há que expor, em primeiro lugar, os prémios em jogo:

● Primeiro Prémio: 6 acertos;

● Segundo Prémio: 5 acertos + suplementar (uma sétima extracção destinada apenas a este prémio);

● Terceiro Prémio: 5 acertos;

● Quarto Prémio: 4 acertos;

● Quinto Prémio: 3 acertos.

Vimos então que, numa aposta simples, temos uma probabilidade de cerca de 0,000007 % de acertar no primeiro prémio. Uma matemática elementar demonstra que as nossas probabilidades vão aumentando se ambicionarmos um prémio mais reduzido:

• O PRIMEIRO PRÉMIO

Para acertar no primeiro prémio do totoloto temos que, num rasgo imenso de sorte, acertar em todas as bolas extraídas da tômbola. Para determinar a probabilidade de conseguir tal feito, basta fazer uma tabela com a probabilidade de acertar em todas as bolas, uma a uma. A probabilidade de acertar em todas em simultâneo obtêm-se multiplicando todas as probabilidades parciais:

BOLAS SORTEADAS

PROBABILIDADE EXACTA

PROBABILIDADE  APROXIMADA

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

1ª combinação:

6 49

x

5 48

x

4 47

x

3 46

x

2 45

x

1 44

=

1 13.983.816

≈

0,000007 %

não existem mais combinações!

• O SEGUNDO PRÉMIO

Para obter um segundo prémio, basta acertar em cinco dos seis números escolhidos na sua aposta e num sétimo número extraído (chamado número suplementar) após as seis bolas convencionais. Esta sétima extracção destina-se apenas a este prémio:

	BOLAS SORTEADAS														PROBABILIDADES EXACTAS					PROBABILIDADES  APROXIMADAS
	1ª		2ª		3ª		4ª		5ª		6ª		sup
	1ª combinação:
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	3 46	x	2 45	x	43 44	x	1 43	=	1 13.983.816				≈	0,000007 %
	2ª combinação:
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	3 46	x	43 45	x	2 44	x	1 43	=	1 13.983.816				≈	0,000007 %
	3ª combinação:
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	43 46	x	3 45	x	2 44	x	1 43	=	1 13.983.816				≈	0,000007 %
	4ª combinação:
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	4 46	x	3 45	x	2 44	x	1 43	=	1 13.983.816				≈	0,000007 %
	5ª combinação:
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	4 46	x	3 45	x	2 44	x	1 43	=	1 13.983.816				≈	0,000007 %
	6ª combinação:
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	4 46	x	3 45	x	2 44	x	1 43	=	1 13.983.816				≈	0,000007 %
	não existem mais combinações!
														+
	PROBABILIDADE FINAL:														1 2.330.636				≈	0,000043 %
															p					p

• O TERCEIRO PRÉMIO

Cinco acertos simples (sem o número suplementar) dar-lhe-ão o direito ao terceiro prémio:

	BOLAS SORTEADAS												PROBABILIDADES EXACTAS					PROBABILIDADES  APROXIMADAS
	1ª		2ª		3ª		4ª		5ª		6ª
	1ª combinação:
											43 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	3 46	x	2 45	x		=	43 13.983.816				≈	0,000307 %
	2ª combinação:
											2 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	3 46	x	43 45	x		=	43 13.983.816				≈	0,000307 %
	3ª combinação:
											2 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	43 46	x	3 45	x		=	43 13.983.816				≈	0,000307 %
	4ª combinação:
											2 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	4 46	x	3 45	x		=	43 13.983.816				≈	0,000307 %
	5ª combinação:
											2 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	4 46	x	3 45	x		=	43 13.983.816				≈	0,000307 %
	6ª combinação:
											2 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	4 46	x	3 45	x		=	43 13.983.816				≈	0,000307 %
	não existem mais combinações!
												+
	PROBABILIDADE FINAL:												43 2.330.636				≈	0,001845 %
													p					p

• O QUARTO PRÉMIO

Com a atenção redobrada também não é difícil ver de quantas formas se podem acertar quatro dos nossos seis números escolhidos, isto é, obter um quarto prémio:

	BOLAS SORTEADAS												PROBABILIDADES EXACTAS					PROBABILIDADES  APROXIMADAS
	1ª		2ª		3ª		4ª		5ª		6ª
	1ª combinação:
											42 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	3 46	x	43 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	2ª combinação:
											3 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	43 46	x	42 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	3ª combinação:
											42 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	43 46	x	3 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	4ª combinação:
											3 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	42 46	x	4 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	5ª combinação:
											3 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	4 46	x	42 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	6ª combinação:
											42 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	4 46	x	3 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	7ª combinação:
											3 44
	6 49	x	43 48	x	42 47	x	5 46	x	4 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	8ª combinação:
											3 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	42 46	x	4 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	9ª combinação:
											3 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	4 46	x	42 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	10ª combinação:
											42 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	4 46	x	3 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	11ª combinação:
											3 44
	43 49	x	42 48	x	6 47	x	5 46	x	4 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	12ª combinação:
											3 44
	43 49	x	6 48	x	42 47	x	5 46	x	4 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	13ª combinação:
											3 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	42 46	x	4 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	14ª combinação:
											3 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	4 46	x	42 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	15ª combinação:
											42 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	4 46	x	3 45	x		=	43 665.896				≈	0,006457 %
	não existem mais combinações!
												+
	PROBABILIDADE FINAL:												645 665.896				≈	0,096862 %
													p					p

• O QUINTO PRÉMIO

Um pouco de método permite ainda avaliar as vinte combinações possíveis de três acertos numa chave simples e as vinte formas de obter um quinto prémio:

	BOLAS SORTEADAS												PROBABILIDADES EXACTAS					PROBABILIDADES  APROXIMADAS
	1ª		2ª		3ª		4ª		5ª		6ª
	1ª combinação:
											41 44
	6 49	x	5 48	x	4 47	x	43 46	x	42 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	2ª combinação:
											4 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	42 46	x	41 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	3ª combinação:
											41 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	42 46	x	4 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	4ª combinação:
											41 44
	6 49	x	5 48	x	43 47	x	4 46	x	42 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	5ª combinação:
											4 44
	6 49	x	43 48	x	42 47	x	41 46	x	5 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	6ª combinação:
											4 44
	6 49	x	43 48	x	42 47	x	5 46	x	41 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	7ª combinação:
											41 44
	6 49	x	43 48	x	42 47	x	5 46	x	4 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	8ª combinação:
											4 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	42 46	x	41 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	9ª combinação:
											41 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	42 46	x	4 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	10ª combinação:
											41 44
	6 49	x	43 48	x	5 47	x	4 46	x	42 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	11ª combinação:
											4 44
	43 49	x	42 48	x	41 47	x	6 46	x	5 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	12ª combinação:
											4 44
	43 49	x	42 48	x	6 47	x	41 46	x	5 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	13ª combinação:
											4 44
	43 49	x	42 48	x	6 47	x	5 46	x	41 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	14ª combinação:
											41 44
	43 49	x	42 48	x	6 47	x	5 46	x	4 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	15ª combinação:
											4 44
	43 49	x	6 48	x	42 47	x	41 46	x	5 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	16ª combinação:
											4 44
	43 49	x	6 48	x	42 47	x	5 46	x	41 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	17ª combinação:
											41 44
	43 49	x	6 48	x	42 47	x	5 46	x	4 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	18ª combinação:
											4 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	42 46	x	41 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	19ª combinação:
											41 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	42 46	x	4 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	20ª combinação:
											41 44
	43 49	x	6 48	x	5 47	x	4 46	x	42 45	x		=	1763 1.997.688				≈	0,088252 %
	não existem mais combinações!
												+
	PROBABILIDADE FINAL:												17630 998.844				≈	1,765040 %
													p					p

Ao analisarmos a última tabela, verificamos que apenas uma em cada 57 apostas é premiada com o 5º prémio. Qual será a probabilidade de obter, pelo menos, um prémio com uma chave? Bem… na realidade, em termos práticos, a probabilidade de obter um prémio é tão elevada como obter apenas o quinto. Tal facto deve-se à soma das cinco probabilidades obtidas anteriormente ser praticamente igual à probabilidade de obter o quinto prémio (cerca de 1,8%). Desta forma, podemos dizer que uma chave é premiada por cada 57 apostas registadas.
É nesta fase que o totoloto exibe a sua elegância e se orgulha da sua falácia! Se eu aposto uma chave e tenho 1,8% de tirar um prémio, então, se jogar duas chaves, tenho 3,6% de hipóteses, isto é, sempre que faço uma aposta, aumento as minhas chances em 1,8%... Não deixa de ser uma raciocínio aparentemente viável! Contudo, está completamente errado. Ao apostar duas chaves, não temos o dobro das chances… Para explicar porquê, há que saber quantas chaves, de um total de 13.983.816, contêm prémios relativos à aposta que fiz.

• NÚMERO DE APOSTAS PARA CADA PRÉMIO

O melhor método de as contar, neste momento, consiste em transformar todas as probabilidades anteriores, expressas em fracções, com denominador igual a 13.983.816. No numerador surgirá o número de apostas que, na realidade, estamos a fazer relativamente a cada um dos prémios em jogo.

				PROBABILIDADE						NÚMERO DE CHAVES COM PRÉMIO
P
1.º PRÉMIO:				1 13.983.816						1
P
2.º PRÉMIO:				1 2.330.636	=	6 13.983.816				6
P
3.º PRÉMIO:				43 2.330.636	=	258 13.983.816				258
P
4.º PRÉMIO:				645 665.896	=	13.545 13.983.816				13.545
P
5.º PRÉMIO:				17630 998.844	=	246.820 13.983.816				246.820
P

A partir destes valores, podemos contar o número de chaves que contêm prémios se fizermos duas ou mais apostas. A partir desses valores encontrados podemos então determinar as respectivas probabilidades. No entanto a forma como aumentamos as chaves premiadas à medida que aumentamos as nossas apostas é algo irregular. Essa irregularidade está relacionada com as cruzes que repetimos de aposta para aposta. Relembre que, se jogar com duas chaves absolutamente iguais, a probabilidade de obter um prémio qualquer não aumenta… Vejamos o que pode acontecer:

• DUAS APOSTAS SEM NÚMEROS REPETIDOS

Se apostarmos duas chaves sem repetir quaisquer números entre elas, estamos, na realidade, a aumentar as nossas hipóteses de obter um prémio. Esta é a primeira regra de todas: Se puder não repita números…
Para determinar as probabilidades para cada prémio, temos que contar o total de chaves de entre as 13.983.816 de combinações possíveis que contêm grupos de 3, 4, 5, 5+1 ou 6 acertos.
Para tal, imaginemos as apostas:

aposta 1:  a, b, c, d, e, f          e         aposta 2:  g, h, i, j, k, l

a) Quinto Prémio:
Temos 246.820 chaves que contêm quintos prémios na aposta 1 e 246.820 chaves que contêm quintos prémios na aposta 2. No entanto, é fácil perceber que chaves como a, b, c, g, h, i têm quintos prémios em ambas as apostas! Não podemos, portanto, simplesmente multiplicar 246.820 por 2… Temos que retirar as combinações com quintos prémios nas apostas 1 e 2 simultaneamente. Para tal, basta ver que a chave sorteada pode conter três números da aposta 1 (que representam 20 conjuntos diferentes) mais três números da aposta 2 (mais 20 conjuntos diferentes). Por cada um dos 20 conjuntos relativos à aposta 1, pode sair um dos 20 conjuntos da aposta 2, pelo que o número de chaves com quintos prémios em ambas as apostas é igual a 20 x 20 = 400. Logo, evidentemente, com as apostas 1 e 2 estamos a apostar em 2 x 246.820 ─ 400 = 493.240 chaves para um quinto prémio (p ≈ 3,527%).

b) Restantes Prémios:
Evidentemente que, nos restantes quatro casos, não é possível criar combinações com prémios em ambas as apostas 1 e 2, uma vez que, mesmo no caso do quarto prémio, precisaríamos de quatro números de cada aposta, isto é oito. Mas apenas são sorteados seis…!
As apostas 1 e 2 representam então 2 x 13.545 = 27.090 chaves para o quarto prémio (p ≈ 0,193%), 2 x 258 = 516 chaves para o terceiro prémio (p ≈ 0,0037%), 2 x 6 = 12 chaves para o segundo prémio (p ≈ 0,0000858%), naturalmente, duas chaves para o primeiro prémio (p ≈ 0,0000143%).

• DUAS APOSTAS COM UM NÚMERO EM COMUM

A regra anterior (Se puder não repita números…) só pode ser levada a cabo se fizermos oito ou menos apostas. A partir da nona aposta, somos obrigados a repetir números que já colocámos em apostas anteriores. Portanto convém saber o que acontece quando duas apostas têm um número em comum.
Imaginemos, agora, as apostas:

aposta 1:  a, b, c, d, e, f          e         aposta 2:  a, g, h, i, j, k

a) Quinto Prémio:
Agora, em relação ao quinto prémio, dois tipos de chaves podem conter combinações em ambas as apostas:
TIPO I – a chave sorteada não contém o número a:
Tal como no caso anterior, temos chaves do tipo b, c, d, g, h, i que têm duas combinações de três números independentes (uma da aposta 1 e outra da aposta 2). Como existem 10 combinações deste tipo para cada aposta, existem 10 x 10 = 100 chaves com quintos prémios em ambas.
TIPO II – a chave sorteada contém o número a:
Agora teremos que contar as chaves do tipo a, b, c, g, h, z (o número z não aparece em nenhuma das apostas 1 e 2). Isto é, chaves com a, com dois números da aposta 1 (10 conjuntos) com dois números da aposta 2 (10 conjuntos) e com um sexto número diferente (38 hipóteses). Contam-se então 10 x 10 x 38 = 3.800 chaves deste género.
No total temos então 100 + 3.800 = 3.900 chaves com quintos prémios nas apostas 1 e 2 e, portanto, estas estão associadas a um total de 2 x 246.820 ─ 3.900 = 489.740 chaves para um quinto prémio (p ≈ 3,502%).

b) Restantes prémios:
Mesmo se repetirmos um número, não existem chaves com prémios deste tipo em ambas as apostas, pelo que, para os restantes quatro prémios, as probabilidades continuam a ter o seu valor máximo que foi indicado na alínea b) do ponto anterior. Estamos, portanto, em condições ede exibir a segunda regra: Se tiver que repetir números, repita apenas um em cada par de apostas…

Estas duas regras são suficientes para preencher quatro boletins completos (40 apostas), mas para mostrar que, realmente, as hipóteses de acertar em prémios menores aumentam se repetirmos o menor valor possível de vezes o mesmo número, calculei a quantidade de chaves em que estamos a apostar para cada prémio e as respectivas probabilidades entre duas apostas simples. Os resultados estão resumidos na tabela seguinte:

				sem repetições					uma repetição					duas repetições					três repetições					quatro repetições
				chaves		probabilidade			chaves		probabilidade			chaves		probabilidade			chaves		probabilidade			chaves		probabilidade
P
1.º PRÉMIO:				2		0,000014%			2		0,000014%			2		0,000014%			2		0,000014%			2		0,000014%
P
2.º PRÉMIO:				12		0,000089%			12		0,000089%			12		0,000089%			12		0,000089%			8		0,000067%
P
3.º PRÉMIO:				516		0,0037%			516		0,0037%			516		0,0037%			516		0,0037%			512		0,0036%
P
4.º PRÉMIO:				27.090		0,193%			27.090		0,193%			27.054		0,193%			26.703		0,191%			26.100		0,187%
P
5.º PRÉMIO:				493.240		3,527%			489.740		3,502%			478.960		3,425%			461.619		3,301%			431.279		3,084%
P

Como se pode ver, ao repetirmos três números em duas chaves, não só reduzimos a probabilidade de acertar num quinto prémio, como também reduzimos as hipóteses de ganhar um quarto prémio. Quatro repetições reduzem também a probabilidade de acertar num segundo (consideravelmente) e num terceiro prémio. Daqui fica bastante claro: Não é aconselhável jogar no totoloto com apostas múltiplas pois o desdobramento destas revela apostas diferentes com bastantes repetições. Naturalmente que esta regra não é aplicável ao primeiro prémio. Mas, se posso aumentar as outras probabilidades sem alterar a chance de ganhar o prémio máximo, porque não fazê-lo? Depois disto podemos agora determinar a probabilidade de acertar num dos prémios do totoloto preenchendo quatro boletins completos.

As primeiras oito apostas não oferecem discussão: Já vimos que é vantajoso não repetir números nestas chaves. Relembre que, entre duas apostas com números diferentes, temos 400 chaves possíveis que dão um quinto prémio em ambas as apostas. Ao fazermos uma terceira aposta, esta irá ter 400 chaves comuns com cada uma das anteriores… Nos outros prémios, como vimos, a regra não se aplica:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
01		246.820	1,765%		13.545	0,097%		258	0,002%		6	0,00004%		1	0,00001%
02		493.240	3,527%		27.090	0,193%		516	0,004%		12	0,00009%		2	0,00001%
03		739.260	5,287%		40.635	0,291%		774	0,006%		18	0,00013%		3	0,00002%
04		984.880	7,043%		54.180	0,387%		1.032	0,007%		24	0,00017%		4	0,00003%
05		1.230.100	8,797%		67.725	0,484%		1.290	0,009%		30	0,00021%		5	0,00004%
06		1.474.920	10,547%		81.270	0,581%		1.548	0,011%		36	0,00026%		6	0,00004%
07		1.719.340	12,295%		94.815	0,678%		1.806	0,013%		42	0,00030%		7	0,00005%
08		1.963.360	14,040%		108.360	0,775%		2.064	0,015%		48	0,00034%		8	0,00006%

Na nona aposta ainda podemos colocar o valor não “utilizado” nas chaves anteriores. Contudo, os outros cinco números terão que se repetir. Convém, como vimos, não repetir mais do que um por cada par de apostas. Esta nona aposta terá então um número em comum com cinco das anteriores e nenhum em comum com as restantes três. Tal irá afectar a probabilidade de obter um quinto prémio:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
09		2.189.480	15,657%		121.905	0,872%		2.322	0,017%		54	0,00039%		9	0,00006%

A partir daqui, e até à 16ª aposta, cada nova chave terá um número em comum com seis das anteriores e nenhum com as restantes:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
10		2.411.700	17,246%		135.450	0,969%		2.580	0,018%		60	0,00043%		10	0,00007%
11		2.633.520	18,833%		148.995	1,065%		2.838	0,020%		66	0,00047%		11	0,00008%
12		2.854.940	20,416%		162.540	1,162%		3.096	0,022%		72	0,00051%		12	0,00009%
13		3.075.960	21,997%		176.085	1,259%		3.354	0,024%		78	0,00056%		13	0,00009%
14		3.296.580	23,574%		189.630	1,356%		3.612	0,026%		84	0,00060%		14	0,00010%
15		3.516.800	25,149%		203.175	1,453%		3.870	0,028%		90	0,00064%		15	0,00011%
16		3.736.620	26,721%		216.720	1,550%		4.128	0,030%		96	0,00069%		16	0,00011%

Na 17ª aposta podemos ainda utilizar dois números que apenas foram repetidos uma vez. Os restantes quatro irão ser utilizados pela terceira vez. Esta aposta terá então um valor em comum com 10 apostas anteriores e nenhum em comum com as restantes seis:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
17		3.942.040	28,190%		230.265	1,647%		4.386	0,031%		102	0,00073%		17	0,00012%

Da 18ª aposta à 24ª todos os números serão novamente repetidos, ou seja, cada uma destas apostas terá um valor em comum com doze das anteriores e nenhum com as restantes:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
18		4.140.060	29,606%		243.810	1,744%		4.644	0,033%		108	0,00077%		18	0,00013%
19		4.337.680	31,019%		257.355	1,840%		4.902	0,035%		114	0,00082%		19	0,00014%
20		4.534.900	32,430%		270.900	1,937%		5.160	0,037%		120	0,00086%		20	0,00014%
21		4.731.720	33,837%		284.445	2,034%		5.418	0,039%		126	0,00090%		21	0,00015%
22		4.928.140	35,242%		297.990	2,131%		5.676	0,041%		132	0,00094%		22	0,00016%
23		5.124.160	36,644%		311.535	2,228%		5.934	0,042%		138	0,00099%		23	0,00016%
24		5.319.780	38,042%		325.080	2,325%		6.192	0,044%		144	0,00103%		24	0,00017%

À 25ª aposta temos ainda três números que apenas utilizámos duas vezes. Os restantes três serão usados pela quarta vez. Esta aposta terá então um número em comum com 15 chaves anteriores e nenhum em comum com as restantes nove:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
25		5.504.500	39,363%		338.625	2,422%		6.450	0,046%		150	0,00107%		25	0,00018%

Daqui até à 32ª aposta qualquer chave nova terá um número em comum com 18 das anteriores e nenhum em comum com as restantes.

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
26		5.140.060	40,606%		352.170	2,518%		6.708	0,048%		156	0,00112%		18	0,00019%
27		5.337.680	41,847%		365.715	2,615%		6.966	0,050%		162	0,00116%		19	0,00019%
28		6.534.900	43,084%		379.260	2,712%		7.224	0,052%		168	0,00120%		20	0,00020%
29		6.731.720	44,318%		392.805	2,809%		7.482	0,054%		174	0,00124%		21	0,00021%
30		6.928.140	45,550%		406.350	2,906%		7.740	0,055%		180	0,00129%		22	0,00021%
31		6.124.160	46,779%		419.895	3,003%		7.998	0,057%		186	0,00133%		23	0,00022%
32		6.319.780	48,004%		433.440	3,100%		8.256	0,059%		192	0,00137%		24	0,00023%

Na 33ª aposta, quatro números vão ser repetidos pela terceira vez e os outros dois vão ser repetidos pela quarta vez. Esta chave terá, portanto, um valor em comum com 20 apostas anteriores e nenhum comum com as restantes doze:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
33		6.876.860	49,177%		446.985	3,196%		8.514	0,061%		198	0,00142%		33	0,00024%

Até à 40ª aposta, todos os números vão ser utilizados pela quinta vez, isto é, terão um número em comum com 24 chaves anteriores e nenhum em comum com as restantes:

número de apostas		5º PRÉMIO			4º PRÉMIO			3º PRÉMIO			2º PRÉMIO			1º PRÉMIO
		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.		chaves	probab.
34		7.026.480	50,247%		460.530	3,293%		8.772	0,063%		204	0,00146%		34	0,00024%
35		7.175.700	51,314%		474.075	3,390%		9.030	0,065%		210	0,00150%		35	0,00025%
36		7.324.520	52,379%		487.620	3,487%		9.288	0,066%		216	0,00154%		36	0,00026%
37		7.472.940	53,440%		501.165	3,584%		9.546	0,068%		222	0,00159%		37	0,00026%
38		7.620.960	54,498%		514.710	3,681%		9.804	0,070%		228	0,00163%		38	0,00027%
39		7.768.580	55,554%		528.255	3,778%		10.062	0,072%		234	0,00167%		39	0,00028%
40		7.915.800	56,607%		541.800	3,874%		10.320	0,074%		240	0,00172%		40	0,00029%

E temos então as probabilidades máximas de obter um prémio qualquer no totoloto se jogarmos 40 chaves simples utilizando o método descrito (na realidade resolvi construir as tabelas completas pois, desta forma, são reveladas as probabilidades máximas para cada um dos prémios, caso joguemos qualquer número de chaves até quarenta).

Se, no entanto, tiver dificuldades em utilizar o método descrito anteriormente, pode recorrer à aplicação  apresentada na coluna lateral (do lado direito) para encontrar 40 chaves simples aleatórias criadas de modo a aumentar as probabilidades de acertar num prémio qualquer do totoloto,

Para terminar este post gostaria de referir um pensamento que li algures que dizia mais ou menos o seguinte: “Por pensarem que a chave 1, 2, 3, 4, 5, 6 tem a mesma probabilidade de sair que outra chave qualquer, os matemáticos acabam por revelar uma mente bastante limitada!”
Bem! Na realidade, eu também gostaria de comentar este pensamento… Lamento informar que essa limitação à qual o pensamento se refere não existe, na verdade. A chave referida tem mesmo uma probabilidade igual a qualquer outra! Há quem contra-argumente, referindo o facto de ser muito mais provável extrair uma chave sem os números consecutivos! Referem ainda que existem apenas 44 chaves nestas condições (desde a chave 1, 2, 3, 4, 5, 6 até à chave 44, 45, 46, 47, 48, 49). No entanto, esta linha de argumentação não é válida! Atrevo mesmo a chamar-lhe falaciosa! Uma chave qualquer, como por exemplo 4, 17, 22, 29, 31, 46 é tão “regular” como qualquer uma das atrás indicadas! Se as diferenças, de número para número, numa chave de números consecutivos são iguais a 1, 1, 1, 1 e 1, no caso da chave “irregular” são 15, 2, 5 e 13. São, à mesma, cinco diferenças, não é?! Além disso, pela mesma ordem de ideias, com as diferenças indicadas, existem apenas 24 chaves ordenadas. Menos que as 44 com os números consecutivos!

A matemática é assim! Conduzida com perspicácia pode convencer algumas pessoas a tirar conclusões precipitadas e completamente erradas. Conduzida, no entanto, por quem sabe, revela indubitavelmente o segredo de todas as coisas! Afinal de contas, ela é a linguagem comum em todo o universo conhecido… E, entretanto, espero que este lhe sorria ao decidir utilizar este método para arriscar a sua sorte esta semana. E, se tal acontecer, entregar-lhe-ei o meu NIB de boa vontade…!