O infinito… Um conceito abstracto muito real, na verdade! O que há para dizer acerca do infinito? Por incrível que pareça, há mesmo muita coisa.
A verdadeira ideologia por detrás do infinito foi concebida por Georg Cantor, matemático russo que viveu entre os séculos XIX e XX. Foi ele o autor dos fundamentos que estão por detrás das modernas Teorias dos Conjuntos, que, actualmente, se dividem em duas categorias: Cantorianas e Não Cantorianas. No entanto, ambas assentam em conclusões tiradas pelo matemático russo.
A temática do infinito tem imensas repercussões na filosofia humana. A ser verdade que, por exemplo, o nosso universo é infinitamente grande, originam-se uma série de consequências que afectam indubitavelmente os ideais do nosso comportamento, da nossa forma de pensar e até da nossa religião. Mas deixemo-nos, por agora, de filosofias e passemos à simples exposição do infinito.
Segundo Cantor um conjunto infinitamente grande só o é se se puder colocar em correspondência biunívoca com alguns dos seus subconjuntos. Pode parecer uma definição complicada, sobretudo se não conseguir contextualizar os seus conceitos, mas, na realidade, é uma definição muito simples, basta saber o que quer dizer “correspondência biunívoca”.
Imaginemos, por exemplo, o conjunto dos números inteiros positivos menores que 10, ao qual chamamos conjunto A.
Em matemática escrevemos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
Podemos agora fazer um esquema que representa o conjunto A da seguinte forma:
Se agora multiplicarmos cada elemento do conjunto A por 3, por exemplo, obtemos o conjunto B constituído da seguinte forma:
A aplicação (x 3) sobre o conjunto A é uma aplicação biunívoca uma vez que a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B e cada elemento de B é correspondido por um e um só elemento de A. A título de exemplo, as seguintes correspondências não são biunívocas:
Depois de perceber o que significa “correspondência biunívoca” (os alunos de matemática também lhe poderão chamar função bijectiva) é muito fácil perceber agora um teorema muito simples que afirma que dois conjuntos têm o mesmo número de elementos se existir uma correspondência biunívoca entre eles. Note que, nos exemplos anteriores, o único par de conjuntos com igual número de elementos é o par A e B onde se definiu uma correspondência desse género. Quando é impossível criar essa correspondência então os dois conjuntos têm uma quantidade diferente de elementos.
Quantos elementos terá então IN? O conjunto IN é o conjunto dos números naturais que são os primeiros que aprendemos (1, 2, 3, 4 e por aí adiante). Ora toda a gente sabe que não existe um último número, não é verdade? No entanto, existem vários tipos de infinito e, portanto, Georg Cantor decidiu afirmar que IN tem אo elementos. Cantor utilizou o símbolo א (letra “aleph” do alfabeto hebraico) para representar o infinito e provou que o infinito “mais pequeno” que existe é אo correspondente à quantidade de números naturais.
Agora sim, vai começar a acção: IN é um conjunto infinito e, por isso mesmo, existe uma correspondência biunívoca com alguns dos seus subconjuntos. Basta pensar, por exemplo, na correspondência (x 2) sobre todos os elementos de IN:
O conjunto IP, como facilmente se pode ver, é constituído pelos números inteiros pares e, portanto, é um subconjunto de IN (note que IN contém os números pares e os números ímpares positivos). Mas se pudemos criar uma correspondência entre os dois conjuntos, então IN e IP têm o mesmo número de elementos. Ora se IN tem אo elementos, então IP tem também אo elementos. Mas como é possível? Se o conjunto IP está contido no conjunto IN não deveria ter menos elementos? De facto, uma primeira abordagem lógica deveria mostrar que metade dos elementos de IN são pares (e portanto são elementos de IP) e outra metade são ímpares (pertencentes ao conjunto que designamos por II). No entanto esta conclusão é incoerente com os resultados de Cantor. Na verdade, o número de elementos do conjunto II é também אo e, portanto, conclui-se que אo + אo = אo , uma vez que o número de inteiros positivos pares somado com o número de inteiros positivos ímpares será o numero de inteiros positivos.
Melhor ainda, se retirarmos a IN os elementos do conjunto IP, obtemos o conjunto II e, portanto, אo – אo = אo . Fantástico, não???
Cantor assumiu que um infinito maior que אo era a quantidade de números reais (os números do conjunto IR) que corresponde ao número de pontos de um segmento de recta (na realidade é também o número total de pontos de uma recta, de um plano ou de um sólido, isto é, é o número de pontos existentes em todo o nosso universo). Chamou a esse número אl.
Cantor conseguiu provar que אl = 2^אo , isto é, não é possível encontrar uma correspondência biunívoca entre um conjunto que tenha אo elementos e outro que tenha אl elementos.
Hoje em dia as teorias dos conjuntos dividem-se então em duas escolas: as Cantorianas que acreditam que não existe nenhum conjunto que tenha mais elementos que IN mas menos elementos que IR (isto é, não existe um infinito superior a אo que seja inferior a אl) e as Não Cantorianas que crêem numa infinidade de infinitos existentes entre אo e אl. Cantor dedicou os últimos anos da sua vida a tentar provar que, na verdade não existem infinitos entre אo e אl (a chamada “hipótese do contínuo” que Paul Cohen, só na metade do séc. XX, demonstrou ser indemonstrável a partir dos conceitos existentes na teoria dos conjuntos). Lamentavelmente teve um final de vida infeliz originado pela depressão que despoletou do seu fracasso.
Depois de perceber o que significa “correspondência biunívoca” (os alunos de matemática também lhe poderão chamar função bijectiva) é muito fácil perceber agora um teorema muito simples que afirma que dois conjuntos têm o mesmo número de elementos se existir uma correspondência biunívoca entre eles. Note que, nos exemplos anteriores, o único par de conjuntos com igual número de elementos é o par A e B onde se definiu uma correspondência desse género. Quando é impossível criar essa correspondência então os dois conjuntos têm uma quantidade diferente de elementos.
Quantos elementos terá então IN? O conjunto IN é o conjunto dos números naturais que são os primeiros que aprendemos (1, 2, 3, 4 e por aí adiante). Ora toda a gente sabe que não existe um último número, não é verdade? No entanto, existem vários tipos de infinito e, portanto, Georg Cantor decidiu afirmar que IN tem אo elementos. Cantor utilizou o símbolo א (letra “aleph” do alfabeto hebraico) para representar o infinito e provou que o infinito “mais pequeno” que existe é אo correspondente à quantidade de números naturais.
Agora sim, vai começar a acção: IN é um conjunto infinito e, por isso mesmo, existe uma correspondência biunívoca com alguns dos seus subconjuntos. Basta pensar, por exemplo, na correspondência (x 2) sobre todos os elementos de IN:
O conjunto IP, como facilmente se pode ver, é constituído pelos números inteiros pares e, portanto, é um subconjunto de IN (note que IN contém os números pares e os números ímpares positivos). Mas se pudemos criar uma correspondência entre os dois conjuntos, então IN e IP têm o mesmo número de elementos. Ora se IN tem אo elementos, então IP tem também אo elementos. Mas como é possível? Se o conjunto IP está contido no conjunto IN não deveria ter menos elementos? De facto, uma primeira abordagem lógica deveria mostrar que metade dos elementos de IN são pares (e portanto são elementos de IP) e outra metade são ímpares (pertencentes ao conjunto que designamos por II). No entanto esta conclusão é incoerente com os resultados de Cantor. Na verdade, o número de elementos do conjunto II é também אo e, portanto, conclui-se que אo + אo = אo , uma vez que o número de inteiros positivos pares somado com o número de inteiros positivos ímpares será o numero de inteiros positivos.
Melhor ainda, se retirarmos a IN os elementos do conjunto IP, obtemos o conjunto II e, portanto, אo – אo = אo . Fantástico, não???
Cantor assumiu que um infinito maior que אo era a quantidade de números reais (os números do conjunto IR) que corresponde ao número de pontos de um segmento de recta (na realidade é também o número total de pontos de uma recta, de um plano ou de um sólido, isto é, é o número de pontos existentes em todo o nosso universo). Chamou a esse número אl.
Cantor conseguiu provar que אl = 2^אo , isto é, não é possível encontrar uma correspondência biunívoca entre um conjunto que tenha אo elementos e outro que tenha אl elementos.
Hoje em dia as teorias dos conjuntos dividem-se então em duas escolas: as Cantorianas que acreditam que não existe nenhum conjunto que tenha mais elementos que IN mas menos elementos que IR (isto é, não existe um infinito superior a אo que seja inferior a אl) e as Não Cantorianas que crêem numa infinidade de infinitos existentes entre אo e אl. Cantor dedicou os últimos anos da sua vida a tentar provar que, na verdade não existem infinitos entre אo e אl (a chamada “hipótese do contínuo” que Paul Cohen, só na metade do séc. XX, demonstrou ser indemonstrável a partir dos conceitos existentes na teoria dos conjuntos). Lamentavelmente teve um final de vida infeliz originado pela depressão que despoletou do seu fracasso.
Sem comentários:
Enviar um comentário