A Filosofia Do Outro Lado Do Universo

ATENÇÃO: A leitura do seguinte post pode levantar sérias dúvidas

relativas ao nosso existencialismo enquanto humanos e seres pensantes.

Todas as teorias a seguir apresentadas são, de facto,

sustentadas pela ciência e comprovadas matematicamente.

As questões apresentadas a seguir já levantaram algumas polémicas interessantes

mas também bastante perturbadoras.

Chegou a hora de expor o Universo onde vivemos. Esta imensidão de espaço que os nossos olhos vêem, na realidade, vai muito mais além do que observamos. “Coisas” que não podemos ver, sentir, tocar ou ouvir (e, porque não, também saborear) estão na ordem do dia e passarão, talvez mais cedo que o previsto, a figurar nas luzes da ribalta. As consequências deste novo formato são avassaladoras e, não tarda nada, há que encará-las com determinação e empenho. Determinação e empenho, sobretudo, em questionar a nossa existência e em aceitar aquilo que realmente somos: matéria e energia.

O funcionamento do Universo é muito complexo. Ele está repleto de objectos que nunca vimos e pode ser tão grande, tão imenso, ao ponto de não ter fim. Não é difícil pensar num Universo infinito. Este é, aliás, um dos possíveis modelos para o nosso Universo criados pela ciência enquanto capacidade humana. No entanto, se realmente já pensou que o Universo é infinito, já pensou também nas consequências adjacentes a este facto? Este é o mote ao primeiro tópico deste post, onde vamos considerar o nosso Universo infinitamente grande, começando por fundamentar esse facto.

UNIVERSOS DO TIPO I – Nos confins inatingíveis do espaço

No momento do Big Bang o nosso Universo era um ponto infinitamente pequeno, infinitamente pesado e infinitamente denso. Porque os infinitos dão origem a infinitos, há cientistas que ponderam seriamente que o nosso Universo é infinitamente grande. De facto, as medições feitas até à data parecem sugerir isso mesmo. Essas medições, na verdade, estão assentes num método matemático muito simples: a triangulação. Ao somar os ângulos internos de um triângulo obtemos, como é sabido, 180º. Baseados neste pequeno postulado, os cientistas começaram a medir os ângulos internos de triângulos gigantes no espaço, usando como pontos de referência objectos distantes e feixes de raios laser a partir da Terra.

Em condições normais, supondo que o triângulo está assente sobre um plano euclidiano, os ângulos α, β e γ deverão somar 180º, isto é: α + β + γ = 180º. Se, por outro lado, os ângulos α, β e γ não somarem 180º exactos (mas sim um pouco mais) então o nosso Universo é curvo como ilustra a seguinte figura, de uma forma exagerada para uma melhor percepção:

Encontrada uma curvatura no espaço, prova-se que o Universo é fechado e curvado sobre a sua própria gravidade. Até agora, porém, essa curvatura, se existir, ainda não foi detectada, pelo que prevalece, para muitos, a ideia de Universo aberto e, portanto, infinitamente grande. Há, no entanto, quem contra-argumente e defenda que a instrumentação actual não é precisa o suficiente para encontrar um ângulo superior a 180º nestas condições. A curvatura é tão ténue que a diferença é reduzidíssima e insuficiente para ser detectada com a tecnologia actual. Contudo, nestas condições, a ideia de Universo aberto ainda não foi refutada.

Se o nosso Universo for realmente aberto e, portanto, infinitamente grande, as consequências filosóficas são abismais. Para melhor o compreender, vou utilizar um exemplo bastante simples de infinito: a dízima infinita não periódica π. Toda a gente conhece o número π (“pi” é uma letra grega que corresponde à letra “p” do alfabeto latino) e toda a gente sabe que π é igual a 3,14. Ora, na realidade, π é um número irracional e 3,14 é apenas um valor aproximado dessa dízima. Para ter uma ideia, a seguinte representação continua a ser um valor aproximado de π (com 544 casas decimais):

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 7…

A representação de π é tão grande quanto se queira. A dízima não tem fim e os algarismos que a constituem surgem de uma forma aleatória. Neste caso, qualquer número considerado, irá aparecer, mais cedo ou mais tarde, na representação de π. Podemos utilizar a última representação para encontrar alguns números:

● A minha idade: 30.

● O número de teclas de um piano: 88.

● O número de megabytes num CD-ROM: 700.

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 7…

Obviamente que, se pretendermos encontrar números maiores nas regularidades de π, é natural termos que prolongar a sua representação. No entanto, podemos garantir que, por muito grandes que tais números sejam, eles irão aparecer algures por entre as casas decimais de π.

Tal como π, se o nosso Universo for infinito, isso significa que qualquer realidade existe algures no Universo. É garantido! Se o nosso Universo for infinitamente grande existe algures uma pessoa igual a mim que escreveu um post igual a este num blog tal e qual o que está a ver neste momento. Existe, inclusive, uma outra pessoa igual a mim que escreveu um post igual a este há já algum tempo e que se tornou famosa por tê-lo escrito. Pode pensar também na sua pessoa: Existe algures no Universo uma pessoa igual a si que, em vez de estar a ler este post, está a escrevê-lo. As possibilidades são infinitas, e, por mais absurdas que sejam as ideias que lhe venham à cabeça neste momento, desde que fisicamente viáveis, o nosso Universo contempla-as algures GARANTIDAMENTE. Algures, no Universo, a acção do Senhor dos Anéis ocorre na realidade ou o leitor é o Primeiro-Ministro de um país chamado Portugal ou uma raça de criaturas verdes e viscosas invade um planeta chamado Terra tal e qual o nosso. E todas estas possibilidades ocorrem neste momento. Aliás ocorrem a qualquer momento uma vez que, se todas as possibilidades existem, então, algures, está a acontecer no Universo aquilo que aconteceu no nosso planeta há dez minutos atrás.

A ideia pode causar alguma perplexidade uma vez que põe em causa o nosso individualismo, isto é, eu deixo de ser um ser único e passo a ser uma réplica de uma infinidade de outros como eu, que pensam da mesma forma e que têm a mesma aparência. Estes mundos que existem algures pelo nosso Universo são chamados Universos Paralelos do tipo I, por abuso de linguagem, claro está. É que, na realidade, estes mundos não são Universos paralelos. São simplesmente outras regiões do mesmo espaço em que habitamos. Mas o que é certo é que, se nós ainda não encontrámos outra sociedade igual à nossa no Universo em que vivemos, se este for infinito, existirá uma sociedade igual à nossa que já encontrou uma outra igual.

Apesar de tudo, a existência de outros seres iguais a mim pode não causar confusão a muita gente. Esses seres podem até ser iguais mas estão muito longe e eu não tenho que me preocupar com eles. A linha de pensamento de quem gosta de tapar o sol com a peneira não o vai livrar de questionar a sua existência quando se deparar com o próximo tópico.

UNIVERSOS DO TIPO II – Viram o pterodáctilo que aqui passou?

Há muito que caiu em desuso o modelo estrutural das partículas que compõem a matéria do nosso Universo. No modelo clássico, por exemplo, um átomo de carbono, o principal elemento da matéria orgânica, era constituído por seis electrões que descreviam órbitas perfeitas em torno de um núcleo de seis neutrões e seis protões. Em termos de constituintes, a ideia continua correcta à face da ciência actual. No entanto, em termos estruturais e funcionais, hoje em dia já não se pensa assim. A moderna Física Quântica encara as partículas desprovidas de massa (de que são exemplo os electrões) de uma forma dual. Tais partículas assumem dois tipos de comportamentos: por vezes comportam-se como outras partículas maiores (como os protões ou neutrões) e nas outras vezes comportam-se como ondas, deixando pura e simplesmente de existir enquanto partículas. Sendo assim, um electrão tem uma vida bastante agitada. Por vezes desaparece e transforma-se numa onda. Depois volta a aparecer sob a forma de uma partícula. Posto isto, o modelo mais aceite para a descrição do átomo não assenta naquela imagem que todos nós conhecemos dos manuais de Física e Química do 8º ano, mas sim, numa imagem que representa a chamada nuvem electrónica que envolve os nucleões (protões e neutrões):

Repare que, no modelo actual a nuvem electrónica à volta do núcleo do átomo é mais densa perto deste. Isso significa que, um electrão tem mais probabilidade de aparecer perto do núcleo do átomo do que longe deste. Na realidade, em situações ideais, um átomo de carbono continua, para todos os efeitos, a possuir seis electrões à volta do seu núcleo. Apenas deixou de se considerar que estes orbitam suavemente em torno dos nucleões, mas sim, vibram à velocidade da luz nas suas proximidades, alterando o seu estado entre partícula e onda constantemente.

Pode não parecer mas as causas deste modelo atómico impressionam qualquer um. Se não o impressionam a si, é porque ainda não pensou seriamente nelas. Senão, vejamos:

O Princípio da Incerteza de Werner Heinsenberg assegura que as medições feitas por um observador alteram o estado daquilo que está a ser observado, ou, equivalentemente, é impossível visualizar o que quer que seja nas suas condições ideais sem afectar essa observação. O conceito é muito simples e uma das formas de o compreender é pensar que a luz não é instantânea mas sim que, na realidade, o que quer que observemos já acontecem há algum tempo. Ao observarmos pela objectiva do telescópio a galáxia de Andrómeda, por exemplo, estamos na realidade a captar a luz por ela emitida há já dois milhões de anos. Mas não é preciso ir tão longe: a luz do sol que chega à Terra demorou cerca de oito minutos desde que partiu do nosso astro-rei, ou seja, se o nosso sol, tragicamente, se apagasse neste exacto momento, só daqui a oito minutos é que nós o saberíamos. Levando o Princípio ao extremo, mesmo quando olha para um pássaro a voar no céu, ele na realidade já não está exactamente no ponto para onde está a olhar, mas sim um pouco mais à frente. Por muito perto que um objecto esteja de si, quando o observa está a captar a luz por ele emitida (ou reflectida) há já algum tempo.

Imagine agora um captador hipotético da posição, por visualização, de um electrão. Esse captador observa o electrão num dado ponto perto de si. Depois, o electrão desaparece e transforma-se em onda. Passado um instante volta a surgir um pouco mais afastado. Como sabemos a velocidade da luz, podemos determinar a altura exacta em que o electrão surgiu nos dois lugares. Feitas as contas, podemo-nos deparar com algo monstruoso: o electrão esteve nos dois sítios ao mesmo tempo. Como é isso possível?

Na realidade, se o mesmo electrão apareceu nestes dois sítios ao mesmo tempo, “o” que apareceu mais perto do captador será visualizado mais cedo do que “o” de apareceu mais longe porque a luz demorou mais tempo a percorrer a distância maior. Mas, se realmente, um electrão pode aparecer em dois lugares em simultâneo o que quer isso dizer?

Esta experiência abstracta (na realidade trata-se de uma experiência mental, não passa de um pequeno exercício esquemático para compreender algo que se passa na realidade mas que não se pode visualizar) permite concluir então que partículas desprovidas de massa podem surgir em dois lugares no espaço em simultâneo. Vamos utilizar outro exemplo hipotético para compreender as consequências deste facto.
Imagine que está em sua casa e que decide abrir a janela para deixar circular um pouco de ar. No momento em que está para abrir a janela, lembra-se que, por outro lado, se a abrir, pode encher a casa de insectos. Qual é a sua decisão? Ora, no momento da sua decisão vamos perfurar o seu cérebro e viajar até ao mundo maravilhoso e complexo que é a sua massa cinzenta. Algures numa pequenez desenfreada vamos encontrar o átomo que vai ser responsável pela sua decisão. E, nesse exacto momento, o electrão que vai tomar tal decisão surge, como já vimos, no mesmo lugar em simultâneo: no lugar onde o leitor decide abrir a janela e noutro onde o leitor decide deixar a janela fechada. E agora volto a perguntar: O que realmente acaba por fazer? Abre a janela e ignora uma das posições do electrão responsável ou deixa-a fechada acabando por ignorar a outra posição?

É agora que tudo desaba e, se quisermos responder correctamente à questão atrás colocada, teremos que dizer: “O leitor decide as duas coisas e acaba por fazer ambas”. Ou seja, o leitor irá abrir a janela para deixar entrar uma corrente de ar fresco na sua casa mas também irá deixar a janela fechada para não deixar entrar as moscas…

Como é isto possível? No momento em que o mesmo electrão surge nas duas localizações o nosso Universo divide-se numa cópia de si mesmo. A única diferença entre esses dois novos Universos é a posição do electrão: num dos Universos o electrão está na posição em que o leitor abre a janela enquanto que, no outro Universo o electrão está na posição que o leva a decidir deixar a janela fechada. A este processo os físicos chamam Descoesão do Universo e está constantemente a acontecer, inclusive neste preciso momento. A consequência primordial da aceitação da Descoesão do Universo é a existência, mais uma vez, de todas as realidades que conseguir imaginar. Este tipo de Universos, no entanto e ao contrário dos referidos no tópico anterior, envolvem a sua pessoa, apesar da sua consciência ter a noção de apenas um dos Universos – aquele em que está a pensar neste momento. O chamado Efeito Borboleta aplicado a este modelo origina algumas situações interessantes, principalmente quando faz especulações na sua vida do tipo: “Se eu tivesse feito assim…”. Na realidade, quando levanta este tipo de questões, lembre-se que existe um Universo onde o fez. O problema é que não conseguirá saber o que está a acontecer nesse Universo pelo que não poderá ter consciência das consequências das decisões que não tomou no Universo onde está, neste momento, a pensar. Complicado? Observe:

Sendo assim garanto-lhe, a si caro leitor, que: esta semana vai ganhar o Euromilhões. Garanto-lhe também que, no próximo ano, vai ser pai. E mais: É também garantido que daqui a 10 anos vai viajar até à Lua. Todas as suas decisões vão ser tomadas por si e todos os desfechos serão possíveis e irão acontecer.
Mas uma pergunta surge na cabeça de toda a gente: Se o Universo se dividiu em dois e eu continuo neste, para onde foi o outro? E, mais uma vez, a Física Quântica assombra tudo e todos com a resposta: Não foi para lado nenhum: Está aqui mesmo, “por cima” deste. No momento em que o Universo se copia a si próprio, os dois Universos resultantes ocupam o mesmo lugar mas em dimensões diferentes. A massa que constitui um é a mesma massa que constitui o outro tal como se essa massa viajasse entre os vários Universos mudando de dimensão em todos os instantes constituindo todos de uma vez. Admitindo, portanto, que desde o momento do Big Bang, que o Universo se copia em Universos paralelos sobrepostos, neste instante, na sua sala de estar, estará certamente um actor famoso, ou um extraterrestre ou um dinossauro a passar. Em qualquer dos casos de certeza que estará a sentir pena por não lhes poder tocar.
A questão adjacente a este modelo resolve outro grande paradoxo da ciência. No post anterior expliquei que, em teoria, é possível viajar para trás no tempo. Ora mas se realmente é, se alguém mal intencionado viajar até ao passado e assassinar o seu próprio avô antes de ter filhos, como irá nascer no futuro? A questão fica resolvida se este tipo de Universos existir: ao voltar atrás no tempo, invertem-se todas as coesões até à data do final da viagem. Um novo conjunto de coesões surge a partir da sua presença no passado e cria-se então um novo Universo onde esse alguém nunca nascerá. Poder-se-ia pensar então que, viajar para trás no tempo seria uma excelente forma de viajar também entre Universos paralelos, não fosse o facto de, ao viajar no tempo e voltar ao passado, nunca mais podermos regressar ao presente tal e qual como o conhecemos, isto é, nunca mais podemos voltar ao Universo de onde partimos.

Os dois tipos de Universos paralelos apresentados nestes dois tópicos são completamente compatíveis entre si, ou seja, a existência de um dos modelos considerados não implica a não existência do outro. Podem ambos ser reais assim como ambos surreais. Aplicando, portanto, o Princípio da Incerteza de John Keynes aos dois modelos, existe uma probabilidade de 75% de pelo menos um destes modelos ser real, isto é, quase que podemos acreditar sensatamente na existência de Universos paralelos. Se esta probabilidade não for suficiente para o convencer, prometo-lhe que a vou aumentar um pouco até ao final deste post.

UNIVERSOS DO TIPO III – Uma sopa cósmica de bolhas

Os modelos para a explicação do nosso Universo constituem uma panóplia de teorias que podem entrar em conflito umas com as outras ou podem também complementar-se. As duas grandes “escolas” para a modelação universal são a Teoria da Gravidade em Loop e a Teoria das Cordas. A Teoria das Cordas, defendida com unhas e dentes pelo Dr. Michio Kaku, famosíssimo físico da Universidade de Nova Iorque, prevê a existência de um novo tipo de Universo paralelo, e é sobre esta teoria que vamos falar neste tópico. A teoria permite também o intercâmbio de matéria entre os vários universos existentes através de uns portais famosos de que já ouviu falar com certeza: os buracos negros. A comprovar-se, poder-se-á pensar em viajar até um universo paralelo para tirar umas feriazinhas talvez daqui a uns anitos… A Teoria das Cordas, contudo, é incompatível com a ideia de Universo Aberto. A ser correcta, o nosso Universo terá que ser fechado e, portanto, a Teoria inviabiliza a existência dos Universos considerados no primeiro tópico.
Na Teoria das Cordas toda a matéria é constituída no seu nível mais pequeno por uma espécie de filamentos semelhantes a pequenas “cordas” de borracha. Esses filamentos ao vibrarem constituem não só a matéria que conhecemos como também as forças que regem o nosso Universo: as forças nucleares forte e fraca, a força electromagnética e, a mais importante de todas, a força da gravidade. Basicamente é ir um pouco mais além do que Albert Einstein, que afirmou no passado que a matéria e a energia são, na realidade, duas formas diferentes da mesma coisa ao expor ao mundo a sua Teoria da Relatividade Restrita e a famosa equação E = mc². O Dr. Michio Kaku acredita que também as forças regentes do cosmos são da mesma natureza que a matéria e, portanto, da mesma natureza que a energia. Tudo é composto por “cordas”. A forma como elas vibram determinam o Universo à nossa volta. Essas vibrações acontecem em 11 dimensões distintas a fim de determinar na sua completude uma determinada partícula: três dimensões espaciais que determinam a posição da partícula no espaço, uma dimensão temporal que determina a altura em que “vive” a partícula e sete dimensões encurvadas que determinam as forças presentes na partícula, entre as quais as quatro forças principais do Universo.

Se realmente estes pequenos filamentos semelhantes a cordas de borracha forem o constituinte do que de mais pequeno há no Universo, então a ciência poderá vir a deslumbrar toda a comunidade com uma Teoria Una que alia a Teoria da Relatividade à Teoria Quântica com um modelo capaz de explicar todo o funcionamento do Universo. Se realmente isso acontecer, então a Teoria das Cordas obrigar-nos-á a aceitar um novo tipo de Universo Paralelo. Basicamente o nosso Universo subsiste numa sopa cósmica de uma imensidão de vários universos, tal como num banho de espuma. Cada bolha desse preparado constitui um Universo e sempre que dois Universos paralelos se tocam, nasce um novo Universo a partir de um Big Bang tal como o que originou o nosso. A Teoria das Cordas vai ao encontro do que os físicos actuais pensam acerca da morte do nosso Universo. Este continuará a expandir-se infinitamente até cair num estado obsoleto e gelado onde as partículas que o constituem se desintegram numa imensidão de escuridade. Tal não é a sua concordância com as observações efectuadas que, apesar de ainda não ter sido provada, a Teoria das Cordas é o modelo mais aceite pela comunidade científica de todo o mundo para o mecanismo do cosmos.
O mais incrível ainda na Teoria das Cordas é o facto de esta admitir a possibilidade de viajar entre dois Universos paralelos. Segundo a teoria, a gravidade flui entre os vários Universos mesmo sem estes se tocarem (caso contrário originariam um Big Bang). Uma ideia radical bastante recente da parte de alguns cientistas norte-americanos considera os Buracos Negros como que as portas que ligam os vários Universos paralelos. No entanto essa nova teoria implica a existência de um outro tipo de buracos no espaço: os Buracos Brancos.
Um Buraco Negro nasce quando uma estrela, mais massiva que o nosso Sol, termina a sua vida numa grande explosão, chamada Supernova. O núcleo de ferro dessa estrela colapsa então sobre a sua própria gravidade dando origem a uma singularidade: uma região no espaço onde a força da gravidade é tão grande que nada lhe pode escapar (nem mesmo a própria luz). O que se pondera agora é precisamente o destino da matéria engolida pelo Buraco Negro. Teoricamente será expulsa por um Buraco Branco algures noutra região do cosmos, quem sabe até noutro Universo. Um Buraco Branco é, portanto, de modo muito grosseiro, o oposto de um Buraco Negro: ele é responsável por expulsar tudo o que foi engolido pelo seu companheiro Buraco Negro noutra região do espaço.

A Teoria das Cordas contempla ainda a existência de um quarto tipo de Universos paralelos, tais como outras sopas de bolhas onde cada bolha representa um Universo. Se julgarmos esses novos mega-universos noutras dimensões poderemos ir ao encontro dos Universos expostos no segundo tópico deste post. Se assim for, alguns desses mega-universos regem-se por leis físicas bastante diferentes das nossas. Contudo é impossível concebê-las! A imaginação humana não é suficientemente poderosa para fazê-lo. Como imaginar um Universo onde não existe gravidade? Ou matéria? Ou energia? Mas o certo é que ele existe se a Teoria das Cordas estiver correcta. Basta para o efeito, imaginar uma infinidade de dimensões onde as cordas possam vibrar dando origem a outras variáveis além da posição no espaço, tempo, forças, energia e matéria. A imaginação pode não conseguir conceber a ideia, mas as possibilidades são infinitas. E, entretanto, o Princípio da Incerteza de John Keynes assegura já existe uma probabilidade de 87,5% de acordo com a seguinte tabela:

UNIVERSOS DO TIPO IV – As leis universais não são todas as leis possíveis

Ainda associada à Teoria das Cordas estão então os Universos mais gerais que englobam as “sopas de bolhas”. Na verdade, o termo mais correcto seria “multiverso paralelo”. Muito mais complicados de imaginar, estes novos universos podem ser construídos a partir de qualquer conjuntos de leis físicas, idênticas ou não às que regulam o funcionamento do nosso próprio Universo. Universos com as mesmas leis agrupam-se no mesmo multiverso formando vários banhos de espuma a flutuar num meio desprovido de massa, tempo, energia e força. Este meio, inclusive, também não é fácil de imaginar mas, no fundo, é o mesmo meio que “existia” em torno do ponto infinitesimal de onde nasceu o nosso próprio Universo.
Deste modo, poderão então não só existir Universos iguais ao nosso, constituído por galáxias, estrelas e planetas ou Universos inteiros desprovidos de massa. Poderão existir Universos com vida inteligente muito diferente da nossa (constituída, por exemplo, não por massa mas sim por energia a fazer lembrar as consequências da Relatividade Restrita de Einstein) ou Universos totalmente líquidos ou sólidos, ou Universos estáticos onde o tempo não corre, ou universos onde não há gravidade onde pessoas parecidas connosco  viajam pelo espaço de livre vontade… As possibilidades são diversas e a maior dificuldade aqui é conseguir imaginar ainda mais Universos diferentes do nosso ao fim de alguns exemplos (repare que eu nem me atrevi a ilustrar este tópico: “Que diabos haverei eu de desenhar?”)…! A ideia de Universo deverá então ser repensada. Deixará de constituir tudo o que conhecemos e passará a ser um pequeno conjunto de variáveis que determina o seu funcionamento (o nosso Universo terá então 11 variáveis nestas condições: as dimensões sobre as quais as “cordas de borracha” podem vibrar).

A PROBABILIDADE FINAL

Refaçamos a tabela onde vamos reunir todas as hipóteses possíveis para o modelo explicativo do cosmos onde vivemos:

Então, para quem percebe um pouquinho de ciência, não será sensato desacreditar a existência de Universos Paralelos. Afinal de contas, ao longo da nossa vida acreditamos em coisas que oferecem probabilidades muito inferiores a 92,9%. Será sensato acreditar realmente que é possível que exista outro “eu” algures no cosmos? Ou que em algum Universo (talvez neste, porque não?!) vou ganhar a lotaria na semana que vem? Ou ainda que, no futuro, comparecerei em reuniões de negócios com outros seres num outro Universo longínquo? A resposta é: CERTAMENTE QUE É! Engane-se quem pense que este post é feito a partir de ficção científica. Para quem se recusar a acreditar, deixo aqui o meu conselho: prepare o seu coração para o que der e vier, pois, um dia, irá convencer-se do contrário, nem que seja num Universo diferente…

A Ciência A Andar P’ra Trás

Acontecimentos recentes na minha vida deram-me uma incrível vontade de, apesar de não ser actualmente possível, viajar no tempo e regressar ao passado. Talvez pudesse alterar um pouco o rumo da história e transformar um avassalador sentimento numa forma de festividade rejuvenescedora. Depois de, no entanto, ter caído em mim, apercebi-me que uma das coisas que poderia fazer era expor aos leitores deste blog a ciência por detrás das viagens no tempo e explicar porque são matematicamente concebíveis (de uma forma bastante acessível, como tem sido hábito). Assim, talvez esta seja uma mensagem de esperança para tudo o que de mal possa acontecer na nossa vida ou na vida da nossa casa a que chamamos planeta Terra.

Por mais voltas que desse, acabei por chegar à conclusão que, infelizmente, não é possível falar das viagens no tempo sem abordar a teoria revolucionária da Física actual: A Teoria da Relatividade Restrita de Einstein.

A Teoria da Relatividade Restrita, publicada por Albert Einstein (que dispensa apresentações), foi publicada em 1905. O seu papel principal, em conjunto com a Teoria da Relatividade Geral publicada uns anos mais tarde pelo mesmo, foi colidir frontalmente com as clássicas teorias físicas explicativas do nosso universo que, até à data, apenas se adequavam à modelação natural das coisas à escala humana. Tal como tudo o que é novo, a Teoria da Relatividade Restrita foi encarada (e ainda hoje é, sobretudo pelas pessoas não familiarizadas com as suas consequências) com bastante perplexidade e, também, pouquíssima credibilidade. Hoje é aceite como “ponto assente” e nada podemos fazer para não imaginar os seus efeitos nas coisas que nos rodeiam. Resta-nos aceitar as suas ideias, por muito que nos custe.

A famosa Teoria de Einstein consiste, no fundo, numa nova definição do conceito de velocidade, que depende, claro está, da posição de um objecto medida em dois instantes de tempo diferentes. É muito simples compreender que, apesar de viajarmos a 120 km/h num comboio, em relação a este nós estamos parados (em estado de repouso, como se diz em termos físicos) – claro que parto do princípio que nós, enquanto passageiros, viajamos sentados e parados. Imagine agora o leitor que viaja no final de uma carruagem. Nisto resolve levantar-se e dirigir-se ao bar, no outro extremo. A que velocidade se dirige? A resposta correcta a esta pergunta terá inevitavelmente que ser: Depende do local onde esteja a pessoa que está a medir. O passageiro que viaja ao seu lado (que ficou sentado) observa-o a afastar-se a 5 km/h, para fixar ideias. No entanto, uma vez que caminha no sentido do movimento do comboio, uma pessoa parada ao pé da linha-férrea observa-o a deslocar-se a 125 km/h (a velocidade do comboio adicionada à velocidade com que se dirige ao bar). No fundo este é o exemplo que melhor encaminha a ideia por detrás da Teoria ao termo “Relatividade” presente na mesma.

É nesta fase que a mente humana, sedenta de respostas, estabelece uma nova ordem de questões: a) E quando regresso ao meu lugar? Qual é a minha velocidade em relação ao observador que está lá fora? R.: Evidentemente, uma vez que caminha no sentido oposto ao do movimento do comboio, a sua velocidade em relação ao observador exterior obter-se-á por subtracção, isto é, 115 km/h. b) E se o observador também estiver em movimento? R.: A sua velocidade obtém-se em todos os casos quer por soma quer por diferença das velocidades envolvidas consoante os sentidos dos movimentos. c) Então qual é a verdadeira velocidade de dois comboios que se cruzam? R.: Dois comboios que se cruzam, se ambos viajarem a 120 km/h em relação a um observador em repouso junto à linha-férrea, viajam, na realidade, a 240 km/h em relação um ao outro. Esta é, talvez, a pergunta mais prática de todas. Ao projectar, por exemplo, uma ponte ferroviária, os engenheiros têm que se deparar com uma velocidade concebível igual ao dobro da velocidade assegurada pela estrutura da ponte. d) Depois disto, podemos concluir então que nós, enquanto habitantes do planeta Terra, nunca estamos parados? R.: Em relação a um ponto em repouso exterior ao planeta, é verdade que nunca estamos em repouso. Estamos, no entanto, em repouso, em relação à nossa esfera azulada.

É aqui que reside a grande questão por detrás da Teoria da Relatividade Restrita: a velocidade da luz (cerca de 300.000 quilómetros por segundo – no vácuo) é uma entidade absoluta que não depende da velocidade nem da fonte emissora (vela, lâmpada ou lanterna) nem da fonte receptora (observador). Isto significa que, voltando ao exemplo do comboio, se no instante em que se levanta para ir ao bar da carruagem acender uma lanterna na direcção do movimento do comboio e um observador exterior em repouso acender também uma lanterna na mesma direcção, a luz emitida pelas duas lanternas viajará à mesma velocidade, apesar de uma fonte luminosa viajar a 120 km/h e outra não (velocidades, claro está, medidas em relação ao nosso planeta). E quais são as consequências desta afirmação? Esta vai ser a resposta mais surpreendente de todas. Vejamos: Imaginemos, hipoteticamente, que um comboio viaja a uma velocidade próxima da velocidade da luz, digamos, 250 000 km/s (trata-se de um comboio fictício, naturalmente…). Imaginemos também que o comboio tem as luzes interiores ligadas. Quanto tempo demorará a luz, desde que é emitida pela lâmpada do tecto da carruagem, a chegar ao chão da carruagem (admitamos que a carruagem mede 2,5 metros de altura)? Uma pequena máquina de calcular e um pouco de trabalho permite obter a resposta para dois observadores, um no interior da carruagem e outro junto aos carris da linha ferroviária. Ora, para o observador no interior da carruagem, um pequeno esquema permite concluir que a luz percorre 2,5 metros à velocidade de 300 000 km/s.

Como a velocidade é igual à distância sobre o tempo, uma pequena equação permite concluir que a luz demorará a percorrer os 2,5 metros da altura da carruagem, cerca de 0,0000000083 segundos.

Ora neste intervalo de tempo, por mais pequeno que seja, a carruagem viajou à velocidade de 250 000 km/s. Com que situação se depara então o observador exterior à carruagem? Para o observador exterior, no momento em que a luz é emitida a situação é a seguinte:

Passados cerca de 0,0000000083 segundos o comboio, à velocidade referida, deslocou-se cerca de 2,1 metros.

É, portanto, nesta altura que o observador exterior vê a luz atingir o chão da carruagem, deparando-se com um trajecto da luz um pouco diferente do passageiro:

Pelo Teorema de Pitágoras é muito simples encontrar então a distância percorrida pela luz para o observador exterior:

Como a luz viaja sempre à mesma velocidade, para o observador exterior demorou cerca de 0,0000000108 segundos (note que este valor é superior aos 0,0000000083 segundos correspondentes à medida em relação ao observador dentro da carruagem).

Que conclusão há a tirar daqui? É simples, ainda que contra-intuitiva: o tempo passa mais devagar num relógio dentro do comboio do que num relógio no exterior ao comboio. As consequências desta conclusão são, em geral, desprezíveis uma vez que, a velocidades praticáveis, o seu efeito é infinitesimal. Contudo, a resposta ao problema das viagens no tempo, já está resolvida no que diz respeito ao futuro: Basta entrar num comboio ou nave espacial que viaje a uma velocidade estonteante. A fórmula da Relatividade Restrita para a dilatação do tempo é a seguinte:

Nesta fórmula, a variável v representa a velocidade da nave espacial e a constante c representa a velocidade da luz. Isto significa que, imagine o leitor que embarca numa super nave espacial. Ao chegar ao espaço, a super nave acelera até a uma velocidade muito próxima da velocidade da luz (a velocidade exacta da luz é igual a 299 792 458 metros por segundo e imagina que a nave viaja à velocidade de 299 792 450 metros por segundo – 8 metros por segundo a menos) seguindo uma trajectória, digamos à volta da Terra) e mantém-se a esta velocidade 10 segundos, aterrando em seguida. Ignorando os tempos que evolvem o lançamento e a aterragem da nave espacial, a viagem demorou, para si, 10 segundos, obviamente. Quanto tempo terá decorrido aqui na Terra? Vejamos:

Isto é, no planeta Terra decorreram 187370288 segundos ou seja 5 anos, 11 meses e 7 dias. Em posse de tal nave uma viagem de apenas cerca de 28 minutos corresponderia a 1000 anos passados cá no nosso planeta. Não é mentira… É a realidade!

Depois de resolvida a questão em relação às viagens para o futuro, como depois regressar ao passado? O tópico agora poder-se-á ainda revelar mais estranho. No entanto é também possível matematicamente, basta para isso a nave viajar mais rápido que a luz. Se a nave viajasse a uma velocidade 8 metros por segundo superior à da luz durante 10 segundos, retrocederia no tempo cerca de 12 horas. Possível ou não, a matemática diz que sim. E se a matemática diz que sim…

Colocando de parte os paradoxos associados às viagens para o passado (também perfeitamente resolvidos pela lógica matemática e, surpreendentemente pela Teoria Quântica – tema que abordarei num futuro próximo não vá eu embarcar numa super nave espacial, esteja descansado!), existe, no entanto, uma barreira associada à velocidade da luz e à Teoria da Relatividade Restrita: É IMPOSSÍVEL VIAJAR À VELOCIDADE DA LUZ. Claro que a última conclusão não se aplica à luz em si. Segundo a teoria, apenas as partículas desprovidas de massa, nas quais se incluem os fotões – as partículas responsáveis pela luz – podem viajar a tais velocidades. É muito simples perceber porquê: Basta substituir na fórmula da dilatação do tempo, a variável v pela constante c:

Se tiver uma máquina de calcular à mão, experimente dividir o tempo de uma viajem à velocidade da luz por zero. A máquina não saberá responder-lhe a essa questão. A questão é que se a nave espacial viajasse à velocidade da luz, o tempo no seu interior deixaria de existir e como é possível conceber tal coisa?

Façamos o ponto da situação: à medida que aceleramos (até à velocidade da luz) o tempo passa cada vez mais devagar. Se viajarmos a uma velocidade superior à da luz o tempo volta para trás e regressamos ao passado. Esta é a consequência directa da Relatividade Restrita e, credível ou não, é a realidade. Mas como ultrapassar a velocidade da luz sem passar por lá?

Em Física, no movimento de qualquer corpo, a aceleração é uma grandeza contínua. Sempre que conduz o seu automóvel se decide acelerar dos 50 aos 80 quilómetros por hora, então “passa” por todas as velocidades intermédias, isto é, durante essa aceleração existe um instante, pelo menos, onde a sua velocidade foi, por exemplo, igual a 65,304 km/h. Os alunos de Matemática A, no 12º ano do Ensino Secundário em Portugal, chamam a este resultado Teorema de Bolzano-Cauchy. Se, em vez de um automóvel, tiver então uma nave espacial, como passar de uma velocidade inferior à da luz a uma velocidade superior? Não é possível. A barreira da luz é impossível de transpor, isto é, nós nunca poderemos acelerar nem até à velocidade da luz nem até a uma velocidade superior à da luz. A barreira é intransponível nos dois sentidos: uma partícula que viaje a uma velocidade superior à da luz nunca poderá desacelerar nem até à velocidade da luz nem até a uma velocidade inferior à da luz. No entanto…

Os físicos modernos viabilizam a hipótese da existência de uma partícula que viaja a uma velocidade superior à da luz. Chamam-lhe “taquião”. As suas propriedades são, no mínimo, muito estranhas. Em primeiro lugar, o taquião não é desprovido de massa. Mas também não é constituído pela massa habitual que vemos no dia a dia. É sim, constituído pela chamada “massa imaginária”, resultante da fórmula:

A fórmula é estruturalmente idêntica à fórmula da dilatação do tempo, mas agora refere a variação da massa de um corpo que se desloca a uma certa velocidade v. Pelos mesmos motivos, à medida que aceleramos, a nossa massa aumenta. E aumenta de tal ordem que, se viajássemos à velocidade da luz, a nossa massa seria infinitamente grande. No entanto, a uma velocidade superior, a nossa massa seria expressa em função da unidade imaginária i, na qual se baseiam os radicais pares dos números negativos. Note, no entanto, que estes números imaginários de “imaginário” têm apenas o nome. Eles são absolutamente concebíveis fisicamente.

Experiências levadas a cabo por muitos físicos em todo o mundo visam provar a existência de tais partículas. Essas experiências baseiam-se, sobretudo, nos efeitos da colisão de partículas nos super aceleradores existentes, no mundo, dos quais se destaca o Super Sincrotrão de Protões (LHC) nas instalações do CERN na Suíça. No entanto, até hoje, ainda não foi detectada a existência de um sequer taquião, pelo que a busca continua. Apesar da vontade de todos os cientistas no mundo passar pela prova da existência dos taquiões é muito estranho pensar que, o taquião já foi encontrado num futuro próximo, talvez.

Mas a pergunta continua pendente: Será então possível para um ser humano viajar ao passado? Já vimos que basta viajar a uma velocidade superior a 300 000 km/s para conseguir inverter a direcção do tempo. E também já vimos que é possível que existam umas partículas chamadas taquiões que tenham precisamente essa propriedade. O único problema a transpor é conceber um engenho que consiga viajar a tais velocidades, sem as atingir por mera aceleração, uma vez que é impossível viajar à velocidade da luz. Como pensar numa solução nestas circunstâncias? Daqui, neste momento, podemos partir apenas numa direcção: transmutação da matéria (enganem-se os que já estão a pensar em alquimia ou na pedra filosofal… Neste blog fala-se de ciência). Para isso teremos que descobrir, em primeiro lugar, no que consiste a matéria imaginária e determinar se é possível ou não transformar matéria “normal” em matéria que viaje a uma velocidade superior à da luz. Transposta essa barreira e… Benvindo ao passado.

Por enquanto, no entanto, nada nos resta a fazer senão confiar no rumo natural das coisas e julgar que tudo o que acontece na nossa realidade faz parte de um propósito maior, muitas vezes incompreensível mas certamente atingível num certo período de tempo. O tempo é, para já, incontrolável. É-o, pelo menos, para nós. Somos todos viajantes no tempo, quer queiramos quer não, e, enquanto viajantes, deveremos orgulhar-nos de ter conseguido um lugar neste comboio que, nem que seja pelo poder desenfreado da memória humana, garante que tudo o que outrora existiu continuará a existir para sempre.

Em memória de Vera Ruivo (1980 – 2010).

Depois da Lâmpada, a Curva Patológica

A questão da lâmpada especial do último post abre o caminho para o entendimento de um dos últimos gritos da matemática: a Teoria dos Fractais. A maior parte das pessoas que se interessa ligeiramente pelas curiosidades da ciência, em particular da matemática, já ouviu com certeza esta palavra, fractal, mas, contudo, com certeza que a maior parte das pessoas não sabe o que tal conceito significa. Uma ligeira e muito breve analogia, permite resumir a Teoria dos Fractais a um género de “Teoria dos Flocos de Neve”. Pode parecer uma comparação bastante superficial para os mais entendidos no assunto, mas na minha opinião é um excelente ponto de partida…

De que forma é que o paradoxo da lâmpada especial do último post está relacionado com a Teoria dos Fractais? Unicamente porque, para compreendermos a noção de fractal, é necessário compreender que é possível fazermos somas com infinitas parcelas e que, nem sempre, essa soma representa um número infinitamente grande. Lembram-se do problema do atleta de Zenão? Em que a distância percorrida pelo atleta, apesar de ser igual a 4 km podia ser expressa como uma soma infinita de parcelas? Pois bem! Com o intuito de informar um pouco mais, podemos recordar alguns conceitos básicos dados na escola, relativamente ao estudo daquelas funções matemáticas especiais de domínio IN, chamadas Sucessões (os alunos em Portugal estudam este assunto no final do 11º ano na disciplina de Matemática A). Para quem não sabe, eu passo a explicar: uma sucessão é, simplesmente, uma sequência infinita de números. Por exemplo, a sucessão dos números pares positivos é dada por: 2, 4, 6, 8, … e por aí adiante.

Ora, se bem se lembram, o conjunto IN é constituído pelos números naturais, isto é:

IN = { 1, 2, 3, 4, …}.

A sequência dos números pares pode então ser obtida multiplicando os elementos de IN por 2 (lembram-se do post “A Marca do Oito Deitado”??). Escrevemos então que a sucessão dos números pares (a que vamos chamar p(n) ) tem a seguinte fórmula:

p(n) = 2 x n [ ou para abreviar: p(n) = 2n ].

Ou seja, substituindo a letra n pelos elementos de IN obtemos então os números pares:

● p(1) = 2 x 1 = 2 ;

● p(2) = 2 x 2 = 4 ;

● p(3) = 2 x 3 = 6 ;

● p(4) = 2 x 4 = 8 …

Notem como esta forma de escrita facilita muitos casos. Em particular, imaginem que queremos saber qual é o 37º número positivo par? Basta calcular p(37) = 2 x 37 = 74.

Depois de saber o que é uma sucessão há que conhecer dois tipos muito especiais de sucessões: As Progressões Aritméticas e as Progressões Geométricas. As Progressões Aritméticas são as sucessões em que a diferença entre dois termos consecutivos é igual a uma constante, quaisquer que sejam esses termos. Por exemplo, a sucessão p(n) que considerámos (a sucessão dos números pares) é um exemplo perfeito de Progressão Aritmética, uma vez que dois termos consecutivos é sempre igual a 2:

● p(2) − p(1) = 4 − 2 = 2 ;

● p(3) − p(2) = 6 − 4 = 2 ;

● p(4) − p(3) = 8 − 6 = 2 …

Estes três últimos exemplos devem ser suficientes para tê-lo convencido que esta regra é igual para todos os pares de termos consecutivos da sucessão.

As Progressões Geométricas são aquelas sucessões em que o quociente entre dois termos consecutivos, quaisquer que sejam eles, é igual a uma constante. Isso acontece, por exemplo, com a as distâncias percorridas pelo atleta do problema de Zenão. Relembremos que os termos dessa sucessão, à qual vamos chamar z(n), eram:

● z(1) = 0,5 ;

● z(2) = 0,25 ;

● z(3) = 0,125 ;

● z(4) = 0,0625 …

Estamos em condições, neste momento, de facilmente reconhecer que os termos desta sucessão estão em Progressão Geométrica:

● z(2) / z(1) = 0,25 / 0,5 = 0,5 ;

● z(3) / z(2) = 0,125 / 0,25 = 0,5 ;

● z(4) / z(3) = 0,0625 / 0,125 = 0,5 …

Podemos agora tirar algumas conclusões acerca das Progressões e, sobretudo, das somas de todos os seus termos. A soma de todos os termos de uma Progressão Aritmética, é sempre infinitamente grande, isto é, é sempre igual a ∞ . Na realidade existe apenas uma excepção, mas trata-se de um caso muito trivial que nem sequer vou mencionar aqui. No que diz respeito às Progressões Geométricas, temos então o exemplo das distâncias percorridas pelo atleta do problema de Zenão que mostra precisamente que a soma de todos os seus termos pode não ser igual a ∞ , uma vez que a soma de todos os termos de z(n) é igual a 1. Note que a sucessão z(n) pode ser definida pela expressão:

 

z(n) = (½)ⁿ .

 

A sucessão b(n) = 2ⁿ é também uma Progressão Geométrica. Representa as potências naturais de base 2 e os seus termos são 2, 4, 8, 16, 32, e por aí adiante. Esta sucessão tem limite igual a ∞, isto é, os seus termos são cada vez maiores à medida que vamos aumentando o valor de n. Naturalmente que a soma de todos os termos desta sucessão é, neste caso, igual a ∞.

 

A grande diferença entre as duas Progressões Geométricas apresentadas está no valor da chamada Razão da Progressão (r) que é a base da potência no seu termo geral. Assim, a Razão da Progressão z(n) é r = ½ enquanto que a Razão da Progressão b(n) é r = 2. Sempre que a razão positiva de uma Progressão Geométrica u(n) for menor que uma unidade, então a soma de todos os termos da progressão é igual a u(1) x 1/(1 − r). Se a razão for superior a 1, então a progressão tem limite igual a ∞ e, portanto, a soma de todos os seus termo é também igual a ∞.

 

E agora está tudo a postos para explicar o que é um Fractal…

 

Imagine um triângulo equilátero, isto é, um triângulo com três lados com o mesmo comprimento, digamos 1 dm:

 

 

Vamos agora dividir cada um dos lados do triângulo anterior em três partes iguais e, sobre a terça parte ao meio de cada lado, vamos acrescentar um triângulo idêntico ao anterior, mais pequeno, no entanto, tal como mostra a figura seguinte:

 

 

Se em cada um dos lados do último polígono acrescentarmos um triângulo equilátero da mesma forma que fizemos da última vez e se repetirmos o processo a todos os lados do polígono obtido, obtemos já uma aproximação satisfatória de um Fractal:

 

 

Claro que, tal como os animais, os computadores são nossos amigos e podemos prosseguir a construção. Mais dois conjuntos de triângulos adicionados permitem obter um polígono digno de referência:

 

 

  E agora é fácil compreender porque lhes chamam flocos de neve!!!

 

O que é que estes polígonos têm de interessante? Além da sua forma curiosa, podemos calcular os valores correspondentes ao perímetro e à área do fractal, supondo que a construção se repete infinitamente, adicionando à imagem triângulos cada vez mais pequenos.

Para determinar o perímetro deste fractal, podemos imaginar que os vários perímetros dos polígonos à medida que o construímos constitui uma sucessão, a que vamos chamar c(n). Ora c(0) – vamos considerar aqui que n também pode ser igual a zero – é o perímetro do triângulo inicial que tinha os três lados iguais a 1 dm. Tem-se, portanto:

● c(0) = 3 x 1 = 3 dm .

No segundo passo da nossa construção, adicionámos três triângulos equiláteros. Repare que obtivemos um polígono com 12 lados todos iguais a uma terça parte do lado do triângulo inicial. O perímetro da segunda figura, c(1), calcular-se-á então da seguinte forma:

● c(1) = 12 x 1/3 = 4 dm .

A terceira figura tem agora 48 lados todos iguais. É fácil compreender que cada lado origina quatro novos lados no passo seguinte (note que a primeira figura tinha 3 lados, a segunda 12 e agora a terceira tem 48…). Como cada lado mede uma terça parte do lado anterior, neste momento o lado do polígono tem 1/9 dm e, portanto:

● c(2) = 48 x 1/9 = 16/3 dm ;

● c(3) = 192 x 1/27 = 64/9 dm ;

● c(4) = 758 x 1/81 = 256/27 dm …

Podemos agora dizer com alguma segurança que c(n) = 3 x (4/3)ⁿ , com n ≥ 0. Podemos agora concluir que os perímetros consecutivos do fractal estão em Progressão Geométrica. A sua razão é r = 4/3 e, portanto, é uma sucessão que tem limite infinitamente grande. Isto significa que, se prosseguírmos a nossa construção infinitamente, a linha que delimita o fractal, apesar de fechada, terá um comprimento infinito. É, no mínimo, estranho, sobretudo se, uma vez que ela é fechada, então há-de delimitar uma área finita. Podemos confirmá-lo escrevendo os termos de uma nova sucessão a(n) que represente as áreas adicionadas em cada passo na nossa construção. Há que, em primeiro lugar, calcular a área do triângulo e reconhecer que em cada passo adicionam-se triângulos com uma nona parte da área do triângulo anterior:

 

 

O último quadro permite visualizar os cálculos que reflectem a verdadeira magia por detrás de um fractal: apesar de ser um polígono com infinitos lados e com um perímetro infinitamente grande, a sua área é um valor finito.

 

Existem muitos tipos de fractais, entre os quais, fractais gerados aleatoriamente. É possível então gerar fractais a partir do computador graças a um simples programa de simulação de valores aleatórios. Na realidade este é um tema muito vasto. Que merecerá a minha atenção num post lá mais para a frente!

Uma Lâmpada Especial

Na matemática, por vezes, surgem questões que põem em causa a sua eficiência e a sua aplicação a certas situações, quer de índole prática, quer de índole teórica. Essas questões podem originar um paradoxo, isto é, um problema que não tem solução ao considerarmos as teorias que lhe são adjacentes. Existem muitos paradoxos na linguagem lógica. Paradoxos que resultam da simples criação de regras nas quais assentam essa linguagem.

Um paradoxo muito simples é o que se obtém quando se analisa o seguinte discurso entre três pessoas: a Verónica, o Xavier e o Zacarias:

 

De que maneira se analisa um problema deste género? Basta escolher um dos três amigos e analisar o que acontece se este estiver a mentir ou a dizer a verdade. Por exemplo, podemos escolher a Verónica:

 
● Estará a Verónica a dizer a verdade?

Vejamos: Se a Verónica está a dizer a verdade então o Xavier também está a dizer a verdade. Pela mesma ordem de ideias, também o Zacarias é verdadeiro. Mas tal não pode acontecer, uma vez que o Zacarias afirma que os dois amigos estão a mentir e nós partimos do princípio que a Verónica diz a verdade. Encontrámos então uma contradição no discurso.

 
● Estará a Verónica a dizer a mentir?

Se a Verónica mente então o Xavier também está a ser mentiroso. Ora se o Zacarias diz que os outros dois amigos mentem então está a dizer a verdade e, portanto, o Xavier está a dizer a verdade quando diz que o Zacarias é verdadeiro. Então o Xavier é verdadeiro e mentiroso ao mesmo tempo!

 

Na realidade, este é uma dos típicos exemplos em que é mais fácil perceber o problema com um exemplo análogo mais complicado. Há problemas que, por serem tão simples, às vezes são difíceis de compreender. Na verdade basta apenas um discurso entre dois protagonistas para originar um paradoxo:

 

 

Como encontrar uma lógica por detrás destas afirmações? Se a Verónica diz a verdade então o Xavier também diz a verdade. Mas como poderá ele dizer a verdade se diz que a Verónica mente? Por outro lado, se a Verónica mente, então o Xavier também é mentiroso. No entanto ele está a ser verdadeiro no seu discurso. Serão ambos verdadeiros e mentirosos em simultâneo??? Querem ver como uma simples pessoa pode originar um paradoxo? Ora vejam:

 

 

Se o Xavier está a dizer a verdade então é porque é mentiroso! Se está a mentir é porque é sincero… E isto é um paradoxo…!

 

Mas não foi por causa dos paradoxos linguísticos que resolvi escrever este post. Gostaria de aprofundar este tema um pouco mais e talvez arriscar um paradoxo digno de dores de cabeça… Para expô-lo, necessito de dar-vos conta de que, por vezes, em matemática, consideram-se somas com um número infinito de parcelas. À primeira vista, poder-se-á julgar que uma soma deste género é igual a um número infinito, uma vez que estamos a lidar com um número infinito de parcelas. Bem! Na realidade, isso acontece na maior parte dos casos:

 

 

Existem, no entanto, outros casos em que a soma de infinitas parcelas não dá infinito. É estranho? Nem por isso! Sobretudo se pensarmos no que acontece se somarmos infinitas vezes o número zero (obviamente que a resposta é zero e não infinito). Apesar de tudo uma aplicação à vida real de uma destas somas pode originar algumas situações estranhas. O exemplo que vamos considerar é o da soma de todos os termos de uma progressão geométrica de razão igual a ½ que facilmente se percebe a partir de uma simples construção geométrica (basta um segmento de recta com uma unidade de comprimento):

 

 

Note que, à medida que vamos adicionando os comprimentos vamos aproximando-nos cada vez mais do comprimento total do segmento de recta, que é igual a uma unidade. Em teoria a soma de todos aqueles comprimentos (que são infinitos) será então igual a 1. Não há nada de paradoxal aqui. Pelo menos enquanto aplicarmos esta soma a uma variável como o comprimento (que é uma variável contínua). Esta soma em especial também pode ser retratada no célebre Problema de Zenão: Se um atleta fizer uma corrida de, digamos, 1 km então ele passa por uma infinidade de distâncias, isto é, ele percorre metade da distância (500 metros) num primeiro intervalo de tempo, depois mais um quarto (750 metros) num segundo intervalo de tempo, depois mais um oitavo (875 metros) e por aí adiante… Por esta ordem de ideias poder-se-á pensar que o atleta nunca chega a atingir a meta. Por muito que corra aproximar-se-á infinitamente da linha de chegada sem nunca a atingir…!

 

 

Ora todos sabemos que isso não é verdade e que o atleta percorre um quilómetro inteiro num espaço de tempo finito. Realmente essa conclusão apenas seria acertada se o atleta demorasse o mesmo tempo a percorrer cada uma das distâncias consideradas, mas nesse caso, a sua prova era dotada de uma desaceleração continuamente infinita. Mas o que acontece na realidade é que o tempo que o atleta demora a percorrer cada uma das distâncias consideradas é metade do tempo que demorou a percorrer a distância anterior (para fixar ideias podemos imaginar que o atleta percorre os primeiros 500 metros em 2 minutos e mantém a sua velocidade constante até ao final da corrida):

 

 

Facilmente se compreende que, se neste caso as distâncias somam um quilómetro (apesar de serem infinitas distâncias) então os tempos somam 4 minutos (apesar de também serem infinitos tempos).

 

Está tudo a postos para o problema da lâmpada. O que acontecerá se tivermos também intervalos infinitos de tempo (cuja soma seja uma constante e não infinito) associados a uma variável discreta, como, por exemplo, a um interruptor de uma lâmpada? Passo a explicar: imaginemos que temos uma máquina capaz de accionar o interruptor de uma lâmpada. A máquina acende a lâmpada. Passado 1 minuto, a máquina acciona o interruptor e apaga-a novamente. Volta a accionar o interruptor passados 30 segundos e depois passados 15 segundos, 7,5 segundos e por aí adiante, isto é, a máquina demora metade do tempo anterior a mudar o estado da lâmpada:

 

 

Agora é trivial perceber que a máquina acciona o interruptor uma infinidade de vezes ao fim de 2 minutos, assim como o atleta do Problema de Zenão atinge a sua meta ao fim de 4 minutos. Mas qual será o derradeiro final do estado da lâmpada? Zenão chegou à sua meta mas… E a lâmpada? Estará acesa ao fim de dois minutos? Ou estará apagada? Vejamos:

 

● Estará a lâmpada acesa?

Se a lâmpada estiver acesa no final dos dois minutos, então significa que o interruptor mudou o estado da lâmpada um número ímpar de vezes (note pelo esquema que a lâmpada ficou acesa ao primeiro, terceiro e quinto clique do interruptor). Mas então isso significa que o último número natural (lembram-se do conjunto IN?) é um número ímpar… Podemos sempre deitar tudo a perder e afirmar que, afinal, o último número existe… E é ímpar… Mas…

 

● Estará a lâmpada apagada?

Se ao fim de dois minutos a lâmpada estiver apagada, então o interruptor mudou o estado da lâmpada um número par de vezes. Consequentemente, pelo raciocínio análogo ao ponto anterior, conclui-se que o último número natural existe, mas afinal de contas é par!!!

 

E então em que é que ficamos? A lâmpada fica acesa? Apagada? Será que existe mesmo um último número? Na realidade os filósofos de hoje em dia ainda se debatem sobre uma resposta a dar a este paradoxo. Muitos argumentam que a máquina que acciona o interruptor é inconcebível e que, portanto, a resposta é desprovida de sentido. Não deixam de ter razão! Tal máquina é impossível de construir. Tanto a máquina como o interruptor, na verdade. Nos últimos instantes dos 2 minutos, o interruptor teria que ser accionado a uma velocidade tão grande que se desintegraria. Aliás, mesmo que não se desintegrasse, ao ultrapassar a velocidade de 300.000 km/s (a velocidade da luz) o botão do interruptor passaria a ter massa imaginária e começaria a viajar para trás no tempo de acordo com a Teoria da Relatividade de Einstein. Poderíamos então pensar que, neste caso absolutamente medonho, a lâmpada voltaria ao seu estado inicial, mas tal não faz sentido uma vez que apenas o interruptor voltaria para o passado enquanto que a lâmpada continuaria a sua viagem para o tempo futuro tal como todos nós. Por outro lado há quem contra-argumente e defenda que o problema não se pode resumir à impossibilidade de criar o ambiente para o testar. A máquina e o interruptor poderão não ser concebíveis na realidade, mas são-no logicamente. No entanto a solução do problema ou o levantamento do paradoxo carecem de respostas…

Um paradoxo resolve-se criando uma teoria (ou alterando uma já existente) no qual ele não possa ocorrer. Na minha opinião de filósofo (e não de matemático) o problema da lâmpada deve ser tratado como incoerente uma vez que uma soma com infinitas parcelas faz apenas sentido se associada a uma variável contínua (como o comprimento – como vimos no Problema de Zenão – o peso, velocidade, etc.) e nunca a uma variável discreta (como o interruptor da lâmpada que nunca se altera nos intervalos de tempo entre as várias mudanças de fase). No entanto, paradoxos, na minha opinião, nunca deixarão de existir… A matemática, sem sombra de dúvida, é uma ferramenta poderosíssima. Mas a imaginação humana é mais forte. Forte o suficiente para combater a arrogância da matemática que visa explicar sempre tudo de uma forma una para todo o cosmos.

 

 

Serial Singer

Eu adoro coisas aleatórias. Ainda que entre em conflito com a Teoria da Relatividade de Einstein em prol da Teoria Quântica, temos que admitir que, neste momento, a melhor explicação do modelo natural do cosmos assenta num compromisso entre as duas teorias. Mas deixemo-nos disso por agora. Falemos antes de Arte. Arte aleatória.

A música é a minha forma de Arte de eleição. No entanto, alguma música contemporânea ultrapassa o meu limite pessoal de elegibilidade. Muita dessa música resulta dos resquícios da mente humana, uma forma muito rebuscada de música. A meu ver, tudo começou a 29 de Agosto de 1952 quando o pianista David Tudor executou, na sala de concertos de Maverick em Nova Iorque, uma das peças mais notáveis da história da música: a obra 4’33’’ do compositor Jonh Cage. Para quem ainda não ouviu falar nesta obra, trata-se de uma peça silenciosa. O pianista senta-se em frente ao piano e, passados 4 minutos e 33 segundos levanta-se e abandona o palco sem tocar numa única tecla. Tal como Jonh Cage escrevera uma vez, «A minha composição preferida é aquela que estamos sempre a ouvir se guardarmos silêncio».

Depois dos 4’33’’, a música seguiu uma liberdade incompreendida, fluindo para todas as maneiras possíveis de escrever música. Foi também Jonh Cage que sugeriu a escrita de música aleatória (chegou mesmo a escrever música a partir do lançamento de dados). Começou assim a história da chamada música serial.

Hoje em dia é muito mais fácil escrever música serial pois temos computadores que simulam experiências aleatórias. Aliás, com um pouco de conhecimentos em programação, o computador pode converter depois a experiência aleatória numa partitura e pode até executá-la… Na minha opinião, hoje em dia, a música serial não passa de uma experiência trivial e a sua criação está ao alcance de qualquer um, com ou sem intuição musical.

Vejamos as minhas experiências que, basicamente, consistem em números aleatórios que representam notas musicais. Como gosto de tocar piano (não muito, sou apenas um entusiasta sem talento), criei duas linhas com números aleatórios cada uma das linhas correspondentes a uma pauta do piano, uma para a mão direita (em clave de sol, como é habitual) e outra para a mão esquerda (em clave de fá). Em ambas as linhas os números aleatórios variam entre 1 e 24 o correspondente a 24 meio tons, isto é, a duas escalas. Temos, portanto, um total de quatro escalas consecutivas na pauta tal como sugere a figura seguinte

Nas primeiras músicas aleatórias criadas pelo meu computador, considerei todas as notas com o mesmo tempo (um tempo musical ou semínimas). Aqui está a primeira música:

Os resultados podem ser variadíssimos. Outro exemplo prova isso mesmo:

Como não há duas sem três, cá está outra composição serial:

Apesar de não parecer, as três últimas composições, na realidade, são bastante diferentes. O facto da sua harmonia ser completamente irregular origina uma incompreensão musical, isto é, as músicas não ficam, de todo, no ouvido. São, no entanto, composições únicas e, para algumas pessoas, criações excepcionais.
Mas vamos mais longe para tornar as composições aleatórias completamente únicas. Nas composições Serial Singer anteriores (01, 02 e 03), considerámos apenas as notas aleatórias. O que acontecerá se agora considerarmos também os tempos de cada nota aleatórios? Também é possível gerar números aleatórios para os tempos se dividirmos cada um dos doze compassos em 16 partes (cada uma das partes vale ¼ de tempo, isto é, uma semi-colcheia) de modo a que, no final, somem 192 quartos de tempo, ou seja, 16 por compasso.
Os resultados são ainda mais artísticos:

Ou até:

E, porque não, uma outra partitura do mesmo género das anteriores?

Agora que já começamos a dominar a técnica, podemos completar ainda mais a nossa música serial introduzindo no cálculo aleatório pausas com diferentes durações, duas vozes na pauta da mão direita e acompanhamentos com acordes na pauta da mão esquerda. Uma interpretação adicional com dinâmicas e andamentos permite transformar o nosso tema aleatório numa obra-prima:

Será então a Arte uma potência exclusiva do homem? Ou teremos que dividir essa nossa apetência com os nossos amigos computadores? Não pode haver polémica alguma. Não faz sentido. Mesmo que se tente há sempre quem argumente que não se pode fazer Arte sem os instrumentos adequados, nos quais, porque não, não incluir o computador?! Para mim, no entanto, esses argumentos não são necessários. A Arte está nos olhos de quem a vê, ouve, toca, cheira ou prova. Nada mais. Considero que as sete obras que o meu computador criou para este post são, sem dúvida, formas de Arte. Formas de uma Arte muito especial, para ser mais conciso. Aos meus ouvidos, no entanto, música alguma das que figuram aqui preenchem aquele vazio especial que nos leva a pôr um CD no leitor, a ligar o rádio no carro ou a ir a uma concerto. São só músicas, nada mais.