Depois da Lâmpada, a Curva Patológica

A questão da lâmpada especial do último post abre o caminho para o entendimento de um dos últimos gritos da matemática: a Teoria dos Fractais. A maior parte das pessoas que se interessa ligeiramente pelas curiosidades da ciência, em particular da matemática, já ouviu com certeza esta palavra, fractal, mas, contudo, com certeza que a maior parte das pessoas não sabe o que tal conceito significa. Uma ligeira e muito breve analogia, permite resumir a Teoria dos Fractais a um género de “Teoria dos Flocos de Neve”. Pode parecer uma comparação bastante superficial para os mais entendidos no assunto, mas na minha opinião é um excelente ponto de partida…

De que forma é que o paradoxo da lâmpada especial do último post está relacionado com a Teoria dos Fractais? Unicamente porque, para compreendermos a noção de fractal, é necessário compreender que é possível fazermos somas com infinitas parcelas e que, nem sempre, essa soma representa um número infinitamente grande. Lembram-se do problema do atleta de Zenão? Em que a distância percorrida pelo atleta, apesar de ser igual a 4 km podia ser expressa como uma soma infinita de parcelas? Pois bem! Com o intuito de informar um pouco mais, podemos recordar alguns conceitos básicos dados na escola, relativamente ao estudo daquelas funções matemáticas especiais de domínio IN, chamadas Sucessões (os alunos em Portugal estudam este assunto no final do 11º ano na disciplina de Matemática A). Para quem não sabe, eu passo a explicar: uma sucessão é, simplesmente, uma sequência infinita de números. Por exemplo, a sucessão dos números pares positivos é dada por: 2, 4, 6, 8, … e por aí adiante.

Ora, se bem se lembram, o conjunto IN é constituído pelos números naturais, isto é:

IN = { 1, 2, 3, 4, …}.

A sequência dos números pares pode então ser obtida multiplicando os elementos de IN por 2 (lembram-se do post “A Marca do Oito Deitado”??). Escrevemos então que a sucessão dos números pares (a que vamos chamar p(n) ) tem a seguinte fórmula:

p(n) = 2 x n [ ou para abreviar: p(n) = 2n ].

Ou seja, substituindo a letra n pelos elementos de IN obtemos então os números pares:

● p(1) = 2 x 1 = 2 ;

● p(2) = 2 x 2 = 4 ;

● p(3) = 2 x 3 = 6 ;

● p(4) = 2 x 4 = 8 …

Notem como esta forma de escrita facilita muitos casos. Em particular, imaginem que queremos saber qual é o 37º número positivo par? Basta calcular p(37) = 2 x 37 = 74.

Depois de saber o que é uma sucessão há que conhecer dois tipos muito especiais de sucessões: As Progressões Aritméticas e as Progressões Geométricas. As Progressões Aritméticas são as sucessões em que a diferença entre dois termos consecutivos é igual a uma constante, quaisquer que sejam esses termos. Por exemplo, a sucessão p(n) que considerámos (a sucessão dos números pares) é um exemplo perfeito de Progressão Aritmética, uma vez que dois termos consecutivos é sempre igual a 2:

● p(2) − p(1) = 4 − 2 = 2 ;

● p(3) − p(2) = 6 − 4 = 2 ;

● p(4) − p(3) = 8 − 6 = 2 …

Estes três últimos exemplos devem ser suficientes para tê-lo convencido que esta regra é igual para todos os pares de termos consecutivos da sucessão.

As Progressões Geométricas são aquelas sucessões em que o quociente entre dois termos consecutivos, quaisquer que sejam eles, é igual a uma constante. Isso acontece, por exemplo, com a as distâncias percorridas pelo atleta do problema de Zenão. Relembremos que os termos dessa sucessão, à qual vamos chamar z(n), eram:

● z(1) = 0,5 ;

● z(2) = 0,25 ;

● z(3) = 0,125 ;

● z(4) = 0,0625 …

Estamos em condições, neste momento, de facilmente reconhecer que os termos desta sucessão estão em Progressão Geométrica:

● z(2) / z(1) = 0,25 / 0,5 = 0,5 ;

● z(3) / z(2) = 0,125 / 0,25 = 0,5 ;

● z(4) / z(3) = 0,0625 / 0,125 = 0,5 …

Podemos agora tirar algumas conclusões acerca das Progressões e, sobretudo, das somas de todos os seus termos. A soma de todos os termos de uma Progressão Aritmética, é sempre infinitamente grande, isto é, é sempre igual a ∞ . Na realidade existe apenas uma excepção, mas trata-se de um caso muito trivial que nem sequer vou mencionar aqui. No que diz respeito às Progressões Geométricas, temos então o exemplo das distâncias percorridas pelo atleta do problema de Zenão que mostra precisamente que a soma de todos os seus termos pode não ser igual a ∞ , uma vez que a soma de todos os termos de z(n) é igual a 1. Note que a sucessão z(n) pode ser definida pela expressão:

 

z(n) = (½)ⁿ .

 

A sucessão b(n) = 2ⁿ é também uma Progressão Geométrica. Representa as potências naturais de base 2 e os seus termos são 2, 4, 8, 16, 32, e por aí adiante. Esta sucessão tem limite igual a ∞, isto é, os seus termos são cada vez maiores à medida que vamos aumentando o valor de n. Naturalmente que a soma de todos os termos desta sucessão é, neste caso, igual a ∞.

 

A grande diferença entre as duas Progressões Geométricas apresentadas está no valor da chamada Razão da Progressão (r) que é a base da potência no seu termo geral. Assim, a Razão da Progressão z(n) é r = ½ enquanto que a Razão da Progressão b(n) é r = 2. Sempre que a razão positiva de uma Progressão Geométrica u(n) for menor que uma unidade, então a soma de todos os termos da progressão é igual a u(1) x 1/(1 − r). Se a razão for superior a 1, então a progressão tem limite igual a ∞ e, portanto, a soma de todos os seus termo é também igual a ∞.

 

E agora está tudo a postos para explicar o que é um Fractal…

 

Imagine um triângulo equilátero, isto é, um triângulo com três lados com o mesmo comprimento, digamos 1 dm:

 

 

Vamos agora dividir cada um dos lados do triângulo anterior em três partes iguais e, sobre a terça parte ao meio de cada lado, vamos acrescentar um triângulo idêntico ao anterior, mais pequeno, no entanto, tal como mostra a figura seguinte:

 

 

Se em cada um dos lados do último polígono acrescentarmos um triângulo equilátero da mesma forma que fizemos da última vez e se repetirmos o processo a todos os lados do polígono obtido, obtemos já uma aproximação satisfatória de um Fractal:

 

 

Claro que, tal como os animais, os computadores são nossos amigos e podemos prosseguir a construção. Mais dois conjuntos de triângulos adicionados permitem obter um polígono digno de referência:

 

 

  E agora é fácil compreender porque lhes chamam flocos de neve!!!

 

O que é que estes polígonos têm de interessante? Além da sua forma curiosa, podemos calcular os valores correspondentes ao perímetro e à área do fractal, supondo que a construção se repete infinitamente, adicionando à imagem triângulos cada vez mais pequenos.

Para determinar o perímetro deste fractal, podemos imaginar que os vários perímetros dos polígonos à medida que o construímos constitui uma sucessão, a que vamos chamar c(n). Ora c(0) – vamos considerar aqui que n também pode ser igual a zero – é o perímetro do triângulo inicial que tinha os três lados iguais a 1 dm. Tem-se, portanto:

● c(0) = 3 x 1 = 3 dm .

No segundo passo da nossa construção, adicionámos três triângulos equiláteros. Repare que obtivemos um polígono com 12 lados todos iguais a uma terça parte do lado do triângulo inicial. O perímetro da segunda figura, c(1), calcular-se-á então da seguinte forma:

● c(1) = 12 x 1/3 = 4 dm .

A terceira figura tem agora 48 lados todos iguais. É fácil compreender que cada lado origina quatro novos lados no passo seguinte (note que a primeira figura tinha 3 lados, a segunda 12 e agora a terceira tem 48…). Como cada lado mede uma terça parte do lado anterior, neste momento o lado do polígono tem 1/9 dm e, portanto:

● c(2) = 48 x 1/9 = 16/3 dm ;

● c(3) = 192 x 1/27 = 64/9 dm ;

● c(4) = 758 x 1/81 = 256/27 dm …

Podemos agora dizer com alguma segurança que c(n) = 3 x (4/3)ⁿ , com n ≥ 0. Podemos agora concluir que os perímetros consecutivos do fractal estão em Progressão Geométrica. A sua razão é r = 4/3 e, portanto, é uma sucessão que tem limite infinitamente grande. Isto significa que, se prosseguírmos a nossa construção infinitamente, a linha que delimita o fractal, apesar de fechada, terá um comprimento infinito. É, no mínimo, estranho, sobretudo se, uma vez que ela é fechada, então há-de delimitar uma área finita. Podemos confirmá-lo escrevendo os termos de uma nova sucessão a(n) que represente as áreas adicionadas em cada passo na nossa construção. Há que, em primeiro lugar, calcular a área do triângulo e reconhecer que em cada passo adicionam-se triângulos com uma nona parte da área do triângulo anterior:

 

 

O último quadro permite visualizar os cálculos que reflectem a verdadeira magia por detrás de um fractal: apesar de ser um polígono com infinitos lados e com um perímetro infinitamente grande, a sua área é um valor finito.

 

Existem muitos tipos de fractais, entre os quais, fractais gerados aleatoriamente. É possível então gerar fractais a partir do computador graças a um simples programa de simulação de valores aleatórios. Na realidade este é um tema muito vasto. Que merecerá a minha atenção num post lá mais para a frente!

Uma Lâmpada Especial

Na matemática, por vezes, surgem questões que põem em causa a sua eficiência e a sua aplicação a certas situações, quer de índole prática, quer de índole teórica. Essas questões podem originar um paradoxo, isto é, um problema que não tem solução ao considerarmos as teorias que lhe são adjacentes. Existem muitos paradoxos na linguagem lógica. Paradoxos que resultam da simples criação de regras nas quais assentam essa linguagem.

Um paradoxo muito simples é o que se obtém quando se analisa o seguinte discurso entre três pessoas: a Verónica, o Xavier e o Zacarias:

 

De que maneira se analisa um problema deste género? Basta escolher um dos três amigos e analisar o que acontece se este estiver a mentir ou a dizer a verdade. Por exemplo, podemos escolher a Verónica:

 
● Estará a Verónica a dizer a verdade?

Vejamos: Se a Verónica está a dizer a verdade então o Xavier também está a dizer a verdade. Pela mesma ordem de ideias, também o Zacarias é verdadeiro. Mas tal não pode acontecer, uma vez que o Zacarias afirma que os dois amigos estão a mentir e nós partimos do princípio que a Verónica diz a verdade. Encontrámos então uma contradição no discurso.

 
● Estará a Verónica a dizer a mentir?

Se a Verónica mente então o Xavier também está a ser mentiroso. Ora se o Zacarias diz que os outros dois amigos mentem então está a dizer a verdade e, portanto, o Xavier está a dizer a verdade quando diz que o Zacarias é verdadeiro. Então o Xavier é verdadeiro e mentiroso ao mesmo tempo!

 

Na realidade, este é uma dos típicos exemplos em que é mais fácil perceber o problema com um exemplo análogo mais complicado. Há problemas que, por serem tão simples, às vezes são difíceis de compreender. Na verdade basta apenas um discurso entre dois protagonistas para originar um paradoxo:

 

 

Como encontrar uma lógica por detrás destas afirmações? Se a Verónica diz a verdade então o Xavier também diz a verdade. Mas como poderá ele dizer a verdade se diz que a Verónica mente? Por outro lado, se a Verónica mente, então o Xavier também é mentiroso. No entanto ele está a ser verdadeiro no seu discurso. Serão ambos verdadeiros e mentirosos em simultâneo??? Querem ver como uma simples pessoa pode originar um paradoxo? Ora vejam:

 

 

Se o Xavier está a dizer a verdade então é porque é mentiroso! Se está a mentir é porque é sincero… E isto é um paradoxo…!

 

Mas não foi por causa dos paradoxos linguísticos que resolvi escrever este post. Gostaria de aprofundar este tema um pouco mais e talvez arriscar um paradoxo digno de dores de cabeça… Para expô-lo, necessito de dar-vos conta de que, por vezes, em matemática, consideram-se somas com um número infinito de parcelas. À primeira vista, poder-se-á julgar que uma soma deste género é igual a um número infinito, uma vez que estamos a lidar com um número infinito de parcelas. Bem! Na realidade, isso acontece na maior parte dos casos:

 

 

Existem, no entanto, outros casos em que a soma de infinitas parcelas não dá infinito. É estranho? Nem por isso! Sobretudo se pensarmos no que acontece se somarmos infinitas vezes o número zero (obviamente que a resposta é zero e não infinito). Apesar de tudo uma aplicação à vida real de uma destas somas pode originar algumas situações estranhas. O exemplo que vamos considerar é o da soma de todos os termos de uma progressão geométrica de razão igual a ½ que facilmente se percebe a partir de uma simples construção geométrica (basta um segmento de recta com uma unidade de comprimento):

 

 

Note que, à medida que vamos adicionando os comprimentos vamos aproximando-nos cada vez mais do comprimento total do segmento de recta, que é igual a uma unidade. Em teoria a soma de todos aqueles comprimentos (que são infinitos) será então igual a 1. Não há nada de paradoxal aqui. Pelo menos enquanto aplicarmos esta soma a uma variável como o comprimento (que é uma variável contínua). Esta soma em especial também pode ser retratada no célebre Problema de Zenão: Se um atleta fizer uma corrida de, digamos, 1 km então ele passa por uma infinidade de distâncias, isto é, ele percorre metade da distância (500 metros) num primeiro intervalo de tempo, depois mais um quarto (750 metros) num segundo intervalo de tempo, depois mais um oitavo (875 metros) e por aí adiante… Por esta ordem de ideias poder-se-á pensar que o atleta nunca chega a atingir a meta. Por muito que corra aproximar-se-á infinitamente da linha de chegada sem nunca a atingir…!

 

 

Ora todos sabemos que isso não é verdade e que o atleta percorre um quilómetro inteiro num espaço de tempo finito. Realmente essa conclusão apenas seria acertada se o atleta demorasse o mesmo tempo a percorrer cada uma das distâncias consideradas, mas nesse caso, a sua prova era dotada de uma desaceleração continuamente infinita. Mas o que acontece na realidade é que o tempo que o atleta demora a percorrer cada uma das distâncias consideradas é metade do tempo que demorou a percorrer a distância anterior (para fixar ideias podemos imaginar que o atleta percorre os primeiros 500 metros em 2 minutos e mantém a sua velocidade constante até ao final da corrida):

 

 

Facilmente se compreende que, se neste caso as distâncias somam um quilómetro (apesar de serem infinitas distâncias) então os tempos somam 4 minutos (apesar de também serem infinitos tempos).

 

Está tudo a postos para o problema da lâmpada. O que acontecerá se tivermos também intervalos infinitos de tempo (cuja soma seja uma constante e não infinito) associados a uma variável discreta, como, por exemplo, a um interruptor de uma lâmpada? Passo a explicar: imaginemos que temos uma máquina capaz de accionar o interruptor de uma lâmpada. A máquina acende a lâmpada. Passado 1 minuto, a máquina acciona o interruptor e apaga-a novamente. Volta a accionar o interruptor passados 30 segundos e depois passados 15 segundos, 7,5 segundos e por aí adiante, isto é, a máquina demora metade do tempo anterior a mudar o estado da lâmpada:

 

 

Agora é trivial perceber que a máquina acciona o interruptor uma infinidade de vezes ao fim de 2 minutos, assim como o atleta do Problema de Zenão atinge a sua meta ao fim de 4 minutos. Mas qual será o derradeiro final do estado da lâmpada? Zenão chegou à sua meta mas… E a lâmpada? Estará acesa ao fim de dois minutos? Ou estará apagada? Vejamos:

 

● Estará a lâmpada acesa?

Se a lâmpada estiver acesa no final dos dois minutos, então significa que o interruptor mudou o estado da lâmpada um número ímpar de vezes (note pelo esquema que a lâmpada ficou acesa ao primeiro, terceiro e quinto clique do interruptor). Mas então isso significa que o último número natural (lembram-se do conjunto IN?) é um número ímpar… Podemos sempre deitar tudo a perder e afirmar que, afinal, o último número existe… E é ímpar… Mas…

 

● Estará a lâmpada apagada?

Se ao fim de dois minutos a lâmpada estiver apagada, então o interruptor mudou o estado da lâmpada um número par de vezes. Consequentemente, pelo raciocínio análogo ao ponto anterior, conclui-se que o último número natural existe, mas afinal de contas é par!!!

 

E então em que é que ficamos? A lâmpada fica acesa? Apagada? Será que existe mesmo um último número? Na realidade os filósofos de hoje em dia ainda se debatem sobre uma resposta a dar a este paradoxo. Muitos argumentam que a máquina que acciona o interruptor é inconcebível e que, portanto, a resposta é desprovida de sentido. Não deixam de ter razão! Tal máquina é impossível de construir. Tanto a máquina como o interruptor, na verdade. Nos últimos instantes dos 2 minutos, o interruptor teria que ser accionado a uma velocidade tão grande que se desintegraria. Aliás, mesmo que não se desintegrasse, ao ultrapassar a velocidade de 300.000 km/s (a velocidade da luz) o botão do interruptor passaria a ter massa imaginária e começaria a viajar para trás no tempo de acordo com a Teoria da Relatividade de Einstein. Poderíamos então pensar que, neste caso absolutamente medonho, a lâmpada voltaria ao seu estado inicial, mas tal não faz sentido uma vez que apenas o interruptor voltaria para o passado enquanto que a lâmpada continuaria a sua viagem para o tempo futuro tal como todos nós. Por outro lado há quem contra-argumente e defenda que o problema não se pode resumir à impossibilidade de criar o ambiente para o testar. A máquina e o interruptor poderão não ser concebíveis na realidade, mas são-no logicamente. No entanto a solução do problema ou o levantamento do paradoxo carecem de respostas…

Um paradoxo resolve-se criando uma teoria (ou alterando uma já existente) no qual ele não possa ocorrer. Na minha opinião de filósofo (e não de matemático) o problema da lâmpada deve ser tratado como incoerente uma vez que uma soma com infinitas parcelas faz apenas sentido se associada a uma variável contínua (como o comprimento – como vimos no Problema de Zenão – o peso, velocidade, etc.) e nunca a uma variável discreta (como o interruptor da lâmpada que nunca se altera nos intervalos de tempo entre as várias mudanças de fase). No entanto, paradoxos, na minha opinião, nunca deixarão de existir… A matemática, sem sombra de dúvida, é uma ferramenta poderosíssima. Mas a imaginação humana é mais forte. Forte o suficiente para combater a arrogância da matemática que visa explicar sempre tudo de uma forma una para todo o cosmos.